ID: 00026572
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС ℰ=12 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями R _{1} = 8 Ом и R _{2} = 3 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 4 мкФ и катушки с индуктивностью L = 24 мкГн. В начальном состоянии ключ К длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе R _{2} после размыкания ключа К? Сопротивлением катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Пройдём по схеме пальцем. От источника через ключ К ток попадает в верхний узел, где начинается конденсатор; дальше он идёт через R_{2}, спускается через катушку L и по нижнему проводу через R_{1} возвращается в источник. Конденсатор при этом стоит поперёк — параллельно паре «R_{2} и катушка». Разомкнём ключ: источник вместе с R_{1} отваливается, и остаётся замкнутое кольцо конденсатор — R_{2} — катушка. Запасённая энергия начнёт колебаться в этом кольце и вся превратится в тепло на единственном сопротивлении — на R_{2}.
Шаг 1 — ток при замкнутом ключе. Ток постоянный и установившийся, поэтому катушка не сопротивляется (её ЭДС самоиндукции равна нулю), а через конденсатор постоянный ток не идёт. Значит, ток течёт по единственному пути, где последовательно включены r, R_{1} и R_{2}: I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}}=\frac{12}{1+8+3}=\frac{12}{12}=1\ \text{А}.
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён параллельно последовательной паре «R_{2} + катушка». На катушке падения нет, значит напряжение на конденсаторе равно напряжению на R_{2}: U=IR_{2}=1\cdot3=3\ \text{В}.
Шаг 3 — сколько энергии запасено в конденсаторе. W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-6}\cdot3^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-6}\cdot9}{2}=1{,}8\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.
Шаг 4 — сколько энергии запасено в катушке. Через неё течёт тот же ток I=1 А: W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{24\cdot10^{-6}\cdot1^{2}}{2}=1{,}2\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.
Шаг 5 — итог. После размыкания ключа в оставшемся контуре нет ни источника, ни другого сопротивления, кроме R_{2}. По закону сохранения энергии вся запасённая энергия выделится именно на нём: Q=W_{C}+W_{L}=1{,}8\cdot10^{-5}+1{,}2\cdot10^{-5}=3\cdot10^{-5}\ \text{Дж}=30\ \text{мкДж}.
Отдельно отметим ловушку: резистор R_{1} участвует только в первом этапе — он влияет на ток, а после размыкания ключа оказывается в оборванной ветви и никакого тепла не получает. И вторая ловушка — забыть про энергию катушки: здесь она даёт почти половину ответа.
Почему модель именно такая. Работают: закон Ома для полной цепи I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}} — он записан в таком виде, потому что в установившемся режиме конденсатор постоянный ток не пропускает, а идеальная катушка при \dfrac{\Delta I}{\Delta t}=0 не создаёт ЭДС самоиндукции и ведёт себя как провод; правило параллельного соединения, дающее напряжение на конденсаторе; формулы энергии электрического поля конденсатора \dfrac{CU^{2}}{2} и магнитного поля катушки \dfrac{LI^{2}}{2}; и закон сохранения энергии для контура без источника — вся энергия переходит в теплоту на единственном резисторе.