ID: 00026572
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС $ℰ=12$ В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями $R_{1}$ = 8 Ом и $R_{2}$ = 3 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 4 мкФ и катушки с индуктивностью L = 24 мкГн. В начальном состоянии ключ К длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_{2}$ после размыкания ключа К? Сопротивлением катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Пройдём по схеме пальцем. От источника через ключ К ток попадает в верхний узел, где начинается конденсатор; дальше он идёт через $R_{2}$, спускается через катушку $L$ и по нижнему проводу через $R_{1}$ возвращается в источник. Конденсатор при этом стоит поперёк — параллельно паре «$R_{2}$ и катушка». Разомкнём ключ: источник вместе с $R_{1}$ отваливается, и остаётся замкнутое кольцо конденсатор — $R_{2}$ — катушка. Запасённая энергия начнёт колебаться в этом кольце и вся превратится в тепло на единственном сопротивлении — на $R_{2}$.
Шаг 1 — ток при замкнутом ключе. Ток постоянный и установившийся, поэтому катушка не сопротивляется (её ЭДС самоиндукции равна нулю), а через конденсатор постоянный ток не идёт. Значит, ток течёт по единственному пути, где последовательно включены $r$, $R_{1}$ и $R_{2}$: $$I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}}=\frac{12}{1+8+3}=\frac{12}{12}=1\ \text{А}.$$
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён параллельно последовательной паре «$R_{2}$ + катушка». На катушке падения нет, значит напряжение на конденсаторе равно напряжению на $R_{2}$: $$U=IR_{2}=1\cdot3=3\ \text{В}.$$
Шаг 3 — сколько энергии запасено в конденсаторе. $$W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-6}\cdot3^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-6}\cdot9}{2}=1{,}8\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — сколько энергии запасено в катушке. Через неё течёт тот же ток $I=1$ А: $$W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{24\cdot10^{-6}\cdot1^{2}}{2}=1{,}2\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.$$
Шаг 5 — итог. После размыкания ключа в оставшемся контуре нет ни источника, ни другого сопротивления, кроме $R_{2}$. По закону сохранения энергии вся запасённая энергия выделится именно на нём: $$Q=W_{C}+W_{L}=1{,}8\cdot10^{-5}+1{,}2\cdot10^{-5}=3\cdot10^{-5}\ \text{Дж}=30\ \text{мкДж}.$$
Отдельно отметим ловушку: резистор $R_{1}$ участвует только в первом этапе — он влияет на ток, а после размыкания ключа оказывается в оборванной ветви и никакого тепла не получает. И вторая ловушка — забыть про энергию катушки: здесь она даёт почти половину ответа.
Почему модель именно такая. Работают: закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}}$ — он записан в таком виде, потому что в установившемся режиме конденсатор постоянный ток не пропускает, а идеальная катушка при $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=0$ не создаёт ЭДС самоиндукции и ведёт себя как провод; правило параллельного соединения, дающее напряжение на конденсаторе; формулы энергии электрического поля конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}$ и магнитного поля катушки $\dfrac{LI^{2}}{2}$; и закон сохранения энергии для контура без источника — вся энергия переходит в теплоту на единственном резисторе.