ID: 00026567
На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц из источника частиц (и.ч.) для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R . Предположим, что в промежутке между обкладками конденсатора, не касаясь их, пролетают молекулы интересующего нас вещества, потерявшие один электрон. Во сколько раз нужно изменить напряжение на обкладках конденсатора, чтобы сквозь него могли пролетать такие же ионы, но имеющие в 2 раза бóльшую кинетическую энергию? Считать, что расстояние между обкладками конденсатора мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Задача про «сито» для ионов. Между двумя дугообразными обкладками есть узкий криволинейный проход радиусом $R$; поле внутри толкает ион поперёк движения. Пролетит ион или врежется в обкладку — решает баланс: электрическая сила должна быть ровно такой, чтобы закрутить ион по дуге того же радиуса $R$. Если ион быстрее, ему нужен более сильный «поворот», то есть большее поле, а значит и большее напряжение. Надо найти, во сколько раз.
Шаг 1 — условие пролёта. Единственная сила, действующая на ион (силой тяжести пренебрегаем), — электрическая, её модуль $F=eE_{нап}$, где $e$ — заряд иона, а $E_{нап}$ — модуль напряжённости поля. Она перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает и лишь поворачивает ион. Второй закон Ньютона для движения по окружности радиуса $R$: $$eE_{нап}=\frac{m\upsilon^{2}}{R}.$$
Шаг 2 — переходим к кинетической энергии. В правой части легко узнаётся удвоенная кинетическая энергия: $m\upsilon^{2}=2E_{к}$. Тогда $$eE_{нап}=\frac{2E_{к}}{R}.$$ Вот главный вывод: нужная напряжённость поля прямо пропорциональна кинетической энергии иона, а масса и скорость по отдельности значения не имеют.
Шаг 3 — от напряжённости к напряжению. Зазор между обкладками мал, поле в нём считается однородным, поэтому напряжение и напряжённость связаны как $U=E_{нап}d$, где $d$ — расстояние между обкладками. Оно не меняется, значит $U$ пропорционально $E_{нап}$: $$U=\frac{2E_{к}d}{eR}.$$
Шаг 4 — сравниваем два случая. Ионы те же (тот же заряд $e$), геометрия та же ($R$ и $d$ не меняются), меняется только энергия: $E_{к2}=2E_{к1}$. Составим отношение: $$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{E_{к2}}{E_{к1}}=2.$$ Напряжение нужно увеличить в $2$ раза.
Обрати внимание на аккуратность рассуждения: если бы речь шла об удвоении скорости, ответ был бы «в 4 раза», потому что в формулу входит $\upsilon^{2}$. Здесь же удваивают именно кинетическую энергию — и зависимость получается линейной.
Почему модель именно такая. Ион рассматривается как материальная точка, движущаяся по дуге окружности радиуса $R$: это законно, потому что зазор между обкладками мал по сравнению с $R$ и напряжённость поля внутри всюду одинакова по модулю. Работают определение напряжённости через силу ($F=eE_{нап}$), второй закон Ньютона для движения по окружности (равнодействующая направлена к центру и равна $\dfrac{m\upsilon^{2}}{R}$) и связь напряжения с напряжённостью однородного поля $U=E_{нап}d$. Поскольку электрическая сила перпендикулярна скорости, она не меняет модуль скорости, и кинетическая энергия иона внутри устройства постоянна — именно поэтому её и можно использовать как характеристику отбираемых частиц.