Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026567

Задача про «сито» для ионов. Между двумя дугообразными обкладками есть узкий криволинейный проход радиусом $R$; поле внутри толкает ион поперёк движения. Пролетит ион или врежется в обкладку — решает баланс: электрическая сила должна быть ровно такой, чтобы закрутить ион по дуге того же радиуса $R$. Если ион быстрее, ему нужен более сильный «поворот», то есть большее поле, а значит и большее напряжение. Надо найти, во сколько раз.

Шаг 1 — условие пролёта. Единственная сила, действующая на ион (силой тяжести пренебрегаем), — электрическая, её модуль $F=eE_{нап}$, где $e$ — заряд иона, а $E_{нап}$ — модуль напряжённости поля. Она перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает и лишь поворачивает ион. Второй закон Ньютона для движения по окружности радиуса $R$: $$eE_{нап}=\frac{m\upsilon^{2}}{R}.$$

Шаг 2 — переходим к кинетической энергии. В правой части легко узнаётся удвоенная кинетическая энергия: $m\upsilon^{2}=2E_{к}$. Тогда $$eE_{нап}=\frac{2E_{к}}{R}.$$ Вот главный вывод: нужная напряжённость поля прямо пропорциональна кинетической энергии иона, а масса и скорость по отдельности значения не имеют.

Шаг 3 — от напряжённости к напряжению. Зазор между обкладками мал, поле в нём считается однородным, поэтому напряжение и напряжённость связаны как $U=E_{нап}d$, где $d$ — расстояние между обкладками. Оно не меняется, значит $U$ пропорционально $E_{нап}$: $$U=\frac{2E_{к}d}{eR}.$$

Шаг 4 — сравниваем два случая. Ионы те же (тот же заряд $e$), геометрия та же ($R$ и $d$ не меняются), меняется только энергия: $E_{к2}=2E_{к1}$. Составим отношение: $$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{E_{к2}}{E_{к1}}=2.$$ Напряжение нужно увеличить в $2$ раза.

Обрати внимание на аккуратность рассуждения: если бы речь шла об удвоении скорости, ответ был бы «в 4 раза», потому что в формулу входит $\upsilon^{2}$. Здесь же удваивают именно кинетическую энергию — и зависимость получается линейной.

Почему модель именно такая. Ион рассматривается как материальная точка, движущаяся по дуге окружности радиуса $R$: это законно, потому что зазор между обкладками мал по сравнению с $R$ и напряжённость поля внутри всюду одинакова по модулю. Работают определение напряжённости через силу ($F=eE_{нап}$), второй закон Ньютона для движения по окружности (равнодействующая направлена к центру и равна $\dfrac{m\upsilon^{2}}{R}$) и связь напряжения с напряжённостью однородного поля $U=E_{нап}d$. Поскольку электрическая сила перпендикулярна скорости, она не меняет модуль скорости, и кинетическая энергия иона внутри устройства постоянна — именно поэтому её и можно использовать как характеристику отбираемых частиц.