Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026566

Маятник качается, и его грузик в крайних точках оказывается ровно на главной оптической оси линзы. Значит, для линзы это два точечных предмета, стоящих на оси на разных расстояниях, и каждый даёт своё изображение — тоже на оси. Нужно найти, насколько эти два изображения разъехались.

Шаг 1 — фокусное расстояние. $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{50}=0{,}02\ \text{м}=2$ см.

Шаг 2 — где стоят крайние положения груза. Амплитуда $A=1$ см — это отклонение от положения равновесия, поэтому крайние точки отстоят от равновесного положения на $A$ в обе стороны, а расстояние между ними равно $2A=2$ см. Равновесное положение удалено от переднего фокуса на $l=\sqrt{5}$ см, поэтому расстояния крайних точек до фокуса: $$x_{1}=l-A=\sqrt{5}-1\ \text{см},\qquad x_{2}=l+A=\sqrt{5}+1\ \text{см}.$$

Шаг 3 — удобная форма формулы линзы. Когда расстояния отсчитывают от фокусов, формула тонкой линзы превращается в очень удобное соотношение Ньютона: если предмет находится на расстоянии $x$ от переднего фокуса, то изображение будет на расстоянии $x'$ от заднего фокуса, причём $$x\,x'=F^{2}.$$ Получить его просто: подставь $d=F+x$ и $f=F+x'$ в $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ и приведи к общему знаменателю — лишние слагаемые сократятся.

Шаг 4 — считаем изображения. $$x_{1}'=\frac{F^{2}}{x_{1}}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}=\sqrt{5}+1\ \text{см},$$ $$x_{2}'=\frac{F^{2}}{x_{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\frac{4\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=\sqrt{5}-1\ \text{см}.$$ Вот почему в условии стоит именно $\sqrt{5}$: числа «переставляются» местами, и корни уходят.

Шаг 5 — расстояние между изображениями. Оба отсчитываются от одного и того же заднего фокуса в одну сторону, поэтому $$\Delta=x_{1}'-x_{2}'=\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{5}-1\right)=2\ \text{см}.$$

Проверим обычной формулой линзы. Расстояния от линзы: $d_{1}=F+x_{1}=2+\left(\sqrt{5}-1\right)\approx3{,}24$ см и $d_{2}=2+\left(\sqrt{5}+1\right)\approx5{,}24$ см. Тогда $f_{1}=\dfrac{d_{1}F}{d_{1}-F}=\dfrac{3{,}24\cdot2}{1{,}24}\approx5{,}24$ см и $f_{2}=\dfrac{5{,}24\cdot2}{3{,}24}\approx3{,}24$ см. Разность $\approx2$ см — тот же ответ. Забавно, что изображения «поменялись местами»: ближняя к линзе точка дала дальнее изображение, и наоборот.

Почему модель именно такая. Груз в крайних положениях лежит на главной оптической оси, поэтому его изображения тоже лежат на оси, и задача сводится к формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ (в параксиальном приближении для тонкой линзы), записанной дважды — для каждого крайнего положения. Форма Ньютона $x\,x'=F^{2}$ — это та же формула, только с отсчётом расстояний от фокусов, и она здесь удобнее, потому что положение маятника задано именно относительно переднего фокуса. Скорость движения груза роли не играет: в крайних точках он на мгновение останавливается, и линза строит изображение неподвижной точки.