Задание 25 ЕГЭ по физике: Математический маятник совершает колебания в плоскости рисунка с…

Маятник качается, и его грузик в крайних точках оказывается ровно на главной оптической оси линзы. Значит, для линзы это два точечных предмета, стоящих на оси на разных расстояниях, и каждый даёт своё изображение — тоже на оси. Нужно найти, насколько эти два изображения разъехались.

Шаг 1 — фокусное расстояние. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{50}=0{,}02\ \text{м}=2 см.

Шаг 2 — где стоят крайние положения груза. Амплитуда A=1 см — это отклонение от положения равновесия, поэтому крайние точки отстоят от равновесного положения на A в обе стороны, а расстояние между ними равно 2A=2 см. Равновесное положение удалено от переднего фокуса на l=\sqrt{5} см, поэтому расстояния крайних точек до фокуса: x_{1}=l-A=\sqrt{5}-1\ \text{см},\qquad x_{2}=l+A=\sqrt{5}+1\ \text{см}.

Шаг 3 — удобная форма формулы линзы. Когда расстояния отсчитывают от фокусов, формула тонкой линзы превращается в очень удобное соотношение Ньютона: если предмет находится на расстоянии x от переднего фокуса, то изображение будет на расстоянии x' от заднего фокуса, причём x\,x'=F^{2}. Получить его просто: подставь d=F+x и f=F+x' в \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F} и приведи к общему знаменателю — лишние слагаемые сократятся.

Шаг 4 — считаем изображения. x_{1}'=\frac{F^{2}}{x_{1}}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}=\frac{4\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}=\sqrt{5}+1\ \text{см}, x_{2}'=\frac{F^{2}}{x_{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\frac{4\left(\sqrt{5}-1\right)}{4}=\sqrt{5}-1\ \text{см}. Вот почему в условии стоит именно \sqrt{5}: числа «переставляются» местами, и корни уходят.

Шаг 5 — расстояние между изображениями. Оба отсчитываются от одного и того же заднего фокуса в одну сторону, поэтому \Delta=x_{1}'-x_{2}'=\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{5}-1\right)=2\ \text{см}.

Проверим обычной формулой линзы. Расстояния от линзы: d_{1}=F+x_{1}=2+\left(\sqrt{5}-1\right)\approx3{,}24 см и d_{2}=2+\left(\sqrt{5}+1\right)\approx5{,}24 см. Тогда f_{1}=\dfrac{d_{1}F}{d_{1}-F}=\dfrac{3{,}24\cdot2}{1{,}24}\approx5{,}24 см и f_{2}=\dfrac{5{,}24\cdot2}{3{,}24}\approx3{,}24 см. Разность \approx2 см — тот же ответ. Забавно, что изображения «поменялись местами»: ближняя к линзе точка дала дальнее изображение, и наоборот.

Почему модель именно такая. Груз в крайних положениях лежит на главной оптической оси, поэтому его изображения тоже лежат на оси, и задача сводится к формуле тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F} (в параксиальном приближении для тонкой линзы), записанной дважды — для каждого крайнего положения. Форма Ньютона x\,x'=F^{2} — это та же формула, только с отсчётом расстояний от фокусов, и она здесь удобнее, потому что положение маятника задано именно относительно переднего фокуса. Скорость движения груза роли не играет: в крайних точках он на мгновение останавливается, и линза строит изображение неподвижной точки.