ID: 00026563
Главная оптическая ось тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см и точечный источник света S находятся в плоскости рисунка. Точка S находится на расстоянии b = 60 см от плоскости линзы и на расстоянии H от её главной оптической оси.
В левой фокальной плоскости линзы лежит тонкий непрозрачный экран с маленьким отверстием A , находящимся в плоскости рисунка на расстоянии h = 4 см от главной оптической оси линзы. Пройдя через отверстие в экране и линзу, луч SA от точечного источника пересекает её главную оптическую ось на расстоянии x = 16 см от плоскости линзы. Найдите величину H . Дифракцией света пренебречь. Постройте рисунок, показывающий ход луча через линзу.
Источник: ФИПИ
Здесь нет ни предмета, ни изображения — есть один-единственный луч, и надо проследить его путь. Луч выходит из источника $S$, протискивается сквозь дырочку $A$ в непрозрачном экране, попадает на линзу, преломляется и пересекает главную оптическую ось в $16$ см за линзой. Зная, где дырочка и где пересечение, восстановим высоту источника.
Шаг 1 — главное свойство передней фокальной плоскости. Отверстие $A$ лежит в левой (передней) фокальной плоскости линзы. Возьмём вспомогательный луч, который идёт из $A$ прямо в оптический центр линзы: он проходит линзу без преломления. Его наклон легко посчитать — он опускается с высоты $h$ до нуля на длине $F$, то есть на каждый сантиметр вдоль оси теряет $\dfrac{h}{F}$ по высоте. А теперь ключевой факт: все лучи, вышедшие из одной точки передней фокальной плоскости, после линзы идут параллельно друг другу. Значит, наш луч $SA$ после линзы имеет ровно такой же наклон $\dfrac{h}{F}$ вниз.
Шаг 2 — на какой высоте луч попал на линзу. После линзы луч спускается с наклоном $\dfrac{h}{F}=\dfrac{4}{20}=0{,}2$ и добирается до оси за $x=16$ см. Значит, на линзу он пришёл на высоте $$y=x\cdot\frac{h}{F}=16\cdot0{,}2=3{,}2\ \text{см}.$$
Шаг 3 — до линзы луч был прямым. Участок $S\to A\to$ линза — это отрезок прямой, высота вдоль него меняется равномерно. Известны три точки этой прямой по горизонтали: $S$ на расстоянии $b=60$ см от линзы (высота $H$), $A$ на расстоянии $F=20$ см от линзы (высота $h=4$ см) и сама линза (высота $y=3{,}2$ см).
Шаг 4 — подобные треугольники. Отсчитывая высоты от точки на линзе, получаем: за $20$ см до линзы луч был выше на $\left(h-y\right)$, а за $60$ см — выше на $\left(H-y\right)$. Расстояния относятся как $60:20=3$, значит и превышения так же: $$H-y=3\left(h-y\right).$$
Шаг 5 — считаем. $h-y=4-3{,}2=0{,}8$ см, поэтому $H-3{,}2=3\cdot0{,}8=2{,}4$ и $$H=3{,}2+2{,}4=5{,}6\ \text{см}.$$
Проверим ход луча целиком: от $S$ (высота $5{,}6$ см) до $A$ (высота $4$ см) луч опустился на $1{,}6$ см за $40$ см пути, то есть с наклоном $0{,}04$; ещё за $20$ см до линзы он опустится на $0{,}8$ см — как раз до $3{,}2$ см. После линзы наклон становится $0{,}2$, и высота $3{,}2$ см «съедается» за $16$ см. Всё сходится с условием.
Почему модель именно такая. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому работает главное построение геометрической оптики: луч через оптический центр не преломляется, а лучи, выходящие из одной точки передней фокальной плоскости, после линзы становятся взаимно параллельными (это прямое следствие формулы тонкой линзы: точка в фокальной плоскости «изображается» на бесконечности). Отверстие в экране нужно ровно затем, чтобы из всего расходящегося пучка источника выделить один луч, а дифракцией на этом отверстии условие велит пренебречь — иначе луч бы размылся. Остальное — школьная геометрия подобных треугольников на прямолинейном участке до линзы.