ID: 00026563
Главная оптическая ось тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см и точечный источник света S находятся в плоскости рисунка. Точка S находится на расстоянии b = 60 см от плоскости линзы и на расстоянии H от её главной оптической оси.
В левой фокальной плоскости линзы лежит тонкий непрозрачный экран с маленьким отверстием A , находящимся в плоскости рисунка на расстоянии h = 4 см от главной оптической оси линзы. Пройдя через отверстие в экране и линзу, луч SA от точечного источника пересекает её главную оптическую ось на расстоянии x = 16 см от плоскости линзы. Найдите величину H . Дифракцией света пренебречь. Постройте рисунок, показывающий ход луча через линзу.
Источник: ФИПИ
Здесь нет ни предмета, ни изображения — есть один-единственный луч, и надо проследить его путь. Луч выходит из источника S, протискивается сквозь дырочку A в непрозрачном экране, попадает на линзу, преломляется и пересекает главную оптическую ось в 16 см за линзой. Зная, где дырочка и где пересечение, восстановим высоту источника.
Шаг 1 — главное свойство передней фокальной плоскости. Отверстие A лежит в левой (передней) фокальной плоскости линзы. Возьмём вспомогательный луч, который идёт из A прямо в оптический центр линзы: он проходит линзу без преломления. Его наклон легко посчитать — он опускается с высоты h до нуля на длине F, то есть на каждый сантиметр вдоль оси теряет \dfrac{h}{F} по высоте. А теперь ключевой факт: все лучи, вышедшие из одной точки передней фокальной плоскости, после линзы идут параллельно друг другу. Значит, наш луч SA после линзы имеет ровно такой же наклон \dfrac{h}{F} вниз.
Шаг 2 — на какой высоте луч попал на линзу. После линзы луч спускается с наклоном \dfrac{h}{F}=\dfrac{4}{20}=0{,}2 и добирается до оси за x=16 см. Значит, на линзу он пришёл на высоте y=x\cdot\frac{h}{F}=16\cdot0{,}2=3{,}2\ \text{см}.
Шаг 3 — до линзы луч был прямым. Участок S\to A\to линза — это отрезок прямой, высота вдоль него меняется равномерно. Известны три точки этой прямой по горизонтали: S на расстоянии b=60 см от линзы (высота H), A на расстоянии F=20 см от линзы (высота h=4 см) и сама линза (высота y=3{,}2 см).
Шаг 4 — подобные треугольники. Отсчитывая высоты от точки на линзе, получаем: за 20 см до линзы луч был выше на \left(h-y\right), а за 60 см — выше на \left(H-y\right). Расстояния относятся как 60:20=3, значит и превышения так же: H-y=3\left(h-y\right).
Шаг 5 — считаем. h-y=4-3{,}2=0{,}8 см, поэтому H-3{,}2=3\cdot0{,}8=2{,}4 и H=3{,}2+2{,}4=5{,}6\ \text{см}.
Проверим ход луча целиком: от S (высота 5{,}6 см) до A (высота 4 см) луч опустился на 1{,}6 см за 40 см пути, то есть с наклоном 0{,}04; ещё за 20 см до линзы он опустится на 0{,}8 см — как раз до 3{,}2 см. После линзы наклон становится 0{,}2, и высота 3{,}2 см «съедается» за 16 см. Всё сходится с условием.
Почему модель именно такая. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому работает главное построение геометрической оптики: луч через оптический центр не преломляется, а лучи, выходящие из одной точки передней фокальной плоскости, после линзы становятся взаимно параллельными (это прямое следствие формулы тонкой линзы: точка в фокальной плоскости «изображается» на бесконечности). Отверстие в экране нужно ровно затем, чтобы из всего расходящегося пучка источника выделить один луч, а дифракцией на этом отверстии условие велит пренебречь — иначе луч бы размылся. Остальное — школьная геометрия подобных треугольников на прямолинейном участке до линзы.