ID: 00026562
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью С _{1} = 2 С , С _{2} = С , С _{3} = 4 С и С _{4} = 2 С подключена к источнику постоянного тока с ЭДС ℰ и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Определите энергию конденсатора С _{1} .
Источник: ФИПИ
Батарея из четырёх конденсаторов подключена к источнику, и надо добраться до энергии одного конкретного — C_{1}. Стратегия обычная для таких схем: сначала разобраться, кто с кем соединён, потом найти напряжение на источнике, свернуть батарею до одного эквивалентного конденсатора, найти заряды и вернуться к напряжению на нужном элементе.
Шаг 1 — где какой узел. На схеме видно три точки: левый узел, средний (он общий для верхнего и нижнего рядов — их соединяет вертикальная перемычка) и правый узел. Между левым и средним узлами включены C_{1} (верхний ряд) и C_{3} (нижний ряд) — это параллельное соединение. Между средним и правым узлами — C_{2} и C_{4}, тоже параллельно. А две эти группы соединены друг с другом последовательно, и вся цепочка подключена к источнику.
Шаг 2 — напряжение на батарее. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому в установившемся состоянии тока в цепи нет. Раз ток равен нулю, то и падение напряжения на внутреннем сопротивлении Ir=0: на клеммах источника ровно ЭДС. Значит, на всю батарею подано напряжение U=\mathcal{E}, а r на ответ не влияет.
Шаг 3 — сворачиваем группы. При параллельном соединении ёмкости складываются: C_{лев}=C_{1}+C_{3}=2C+4C=6C,\qquad C_{прав}=C_{2}+C_{4}=C+2C=3C.
Шаг 4 — последовательное соединение групп. \frac{1}{C_{общ}}=\frac{1}{6C}+\frac{1}{3C}=\frac{1+2}{6C}=\frac{1}{2C}\quad\Rightarrow\quad C_{общ}=2C.
Шаг 5 — заряд. У последовательно соединённых участков заряд одинаков и равен заряду всей батареи: q=C_{общ}U=2C\mathcal{E}. Этот заряд «сидит» на левой группе целиком, распределяясь между C_{1} и C_{3}.
Шаг 6 — напряжение на C_{1}. Левая группа заряжена зарядом q и имеет ёмкость 6C, поэтому напряжение на ней U_{1}=\frac{q}{C_{лев}}=\frac{2C\mathcal{E}}{6C}=\frac{\mathcal{E}}{3}. Это же напряжение и на C_{1}, ведь он подключён параллельно C_{3}.
Шаг 7 — энергия. W_{1}=\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2}=\frac{2C}{2}\cdot\left(\frac{\mathcal{E}}{3}\right)^{2}=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{9}.
Проверим себя: на правой группе напряжение \dfrac{q}{3C}=\dfrac{2\mathcal{E}}{3}, и вместе с \dfrac{\mathcal{E}}{3} это даёт как раз \mathcal{E} — сумма напряжений на последовательных участках равна полному. Логично и то, что на группе с большей ёмкостью напряжение меньше.
Почему модель именно такая. Опора на три положения. Первое: конденсатор не пропускает постоянный ток, поэтому в установившемся режиме I=0 и напряжение на клеммах источника равно его ЭДС (закон Ома для полной цепи при нулевом токе). Второе: правила соединения конденсаторов — при параллельном соединении складываются ёмкости и одинаковы напряжения, при последовательном одинаковы заряды и складываются обратные ёмкости. Третье: определение ёмкости q=CU и формула энергии заряженного конденсатора W=\dfrac{CU^{2}}{2}.