Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026562

Батарея из четырёх конденсаторов подключена к источнику, и надо добраться до энергии одного конкретного — $C_{1}$. Стратегия обычная для таких схем: сначала разобраться, кто с кем соединён, потом найти напряжение на источнике, свернуть батарею до одного эквивалентного конденсатора, найти заряды и вернуться к напряжению на нужном элементе.

Шаг 1 — где какой узел. На схеме видно три точки: левый узел, средний (он общий для верхнего и нижнего рядов — их соединяет вертикальная перемычка) и правый узел. Между левым и средним узлами включены $C_{1}$ (верхний ряд) и $C_{3}$ (нижний ряд) — это параллельное соединение. Между средним и правым узлами — $C_{2}$ и $C_{4}$, тоже параллельно. А две эти группы соединены друг с другом последовательно, и вся цепочка подключена к источнику.

Шаг 2 — напряжение на батарее. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому в установившемся состоянии тока в цепи нет. Раз ток равен нулю, то и падение напряжения на внутреннем сопротивлении $Ir=0$: на клеммах источника ровно ЭДС. Значит, на всю батарею подано напряжение $U=\mathcal{E}$, а $r$ на ответ не влияет.

Шаг 3 — сворачиваем группы. При параллельном соединении ёмкости складываются: $$C_{лев}=C_{1}+C_{3}=2C+4C=6C,\qquad C_{прав}=C_{2}+C_{4}=C+2C=3C.$$

Шаг 4 — последовательное соединение групп. $$\frac{1}{C_{общ}}=\frac{1}{6C}+\frac{1}{3C}=\frac{1+2}{6C}=\frac{1}{2C}\quad\Rightarrow\quad C_{общ}=2C.$$

Шаг 5 — заряд. У последовательно соединённых участков заряд одинаков и равен заряду всей батареи: $$q=C_{общ}U=2C\mathcal{E}.$$ Этот заряд «сидит» на левой группе целиком, распределяясь между $C_{1}$ и $C_{3}$.

Шаг 6 — напряжение на $C_{1}$. Левая группа заряжена зарядом $q$ и имеет ёмкость $6C$, поэтому напряжение на ней $$U_{1}=\frac{q}{C_{лев}}=\frac{2C\mathcal{E}}{6C}=\frac{\mathcal{E}}{3}.$$ Это же напряжение и на $C_{1}$, ведь он подключён параллельно $C_{3}$.

Шаг 7 — энергия. $$W_{1}=\frac{C_{1}U_{1}^{2}}{2}=\frac{2C}{2}\cdot\left(\frac{\mathcal{E}}{3}\right)^{2}=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{9}.$$

Проверим себя: на правой группе напряжение $\dfrac{q}{3C}=\dfrac{2\mathcal{E}}{3}$, и вместе с $\dfrac{\mathcal{E}}{3}$ это даёт как раз $\mathcal{E}$ — сумма напряжений на последовательных участках равна полному. Логично и то, что на группе с большей ёмкостью напряжение меньше.

Почему модель именно такая. Опора на три положения. Первое: конденсатор не пропускает постоянный ток, поэтому в установившемся режиме $I=0$ и напряжение на клеммах источника равно его ЭДС (закон Ома для полной цепи при нулевом токе). Второе: правила соединения конденсаторов — при параллельном соединении складываются ёмкости и одинаковы напряжения, при последовательном одинаковы заряды и складываются обратные ёмкости. Третье: определение ёмкости $q=CU$ и формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^{2}}{2}$.