Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026560

Ситуация из фотолаборатории: линза с фокусным расстоянием $F=15$ см даёт на экране резкое увеличенное изображение. Потом экран придвигают к линзе, изображение расплывается, и его снова делают резким — но уже двигая сам предмет. Вопрос: каким стало увеличение. План простой — по первому случаю найти оба расстояния, во втором случае пересчитать их и взять отношение.

Шаг 1 — что известно про первый случай. Резкое изображение на экране означает, что экран стоит точно в плоскости изображения, то есть расстояние от линзы до экрана и есть $f_{1}$. Увеличение $\Gamma_{1}=\dfrac{f_{1}}{d_{1}}=5$, откуда $f_{1}=5d_{1}$.

Шаг 2 — находим $d_{1}$ и $f_{1}$. Подставим это в формулу тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$: $$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{5d_{1}}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad\frac{5+1}{5d_{1}}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad\frac{6}{5d_{1}}=\frac{1}{15}.$$ Отсюда $5d_{1}=90$, то есть $d_{1}=18$ см, а $f_{1}=5\cdot18=90$ см. Проверим: $\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{90}=\dfrac{5+1}{90}=\dfrac{1}{15}$ — верно.

Шаг 3 — второй случай. Экран придвинули к линзе на $30$ см, значит новое расстояние до изображения $$f_{2}=90-30=60\ \text{см}.$$ Линзу не трогали, поэтому $F$ прежнее.

Шаг 4 — где теперь предмет. Снова формула тонкой линзы: $$\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{F}-\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{15}-\frac{1}{60}=\frac{4-1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20},$$ то есть $d_{2}=20$ см. Предмет пришлось отодвинуть от линзы (было $18$ см, стало $20$ см) — логично: изображение приблизилось к линзе, значит предмет должен уйти подальше.

Шаг 5 — новое увеличение. $$\Gamma_{2}=\frac{f_{2}}{d_{2}}=\frac{60}{20}=3.$$

Проверка на здравый смысл: предмет по-прежнему стоит между $F=15$ см и $2F=30$ см, а значит изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное — увеличение больше единицы, что мы и получили. И чем дальше предмет от фокуса, тем меньше увеличение: было $18$ см и $\Gamma=5$, стало $20$ см и $\Gamma=3$.

Почему модель именно такая. Линза тонкая, рассматриваем параксиальные лучи, поэтому применимы формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ и формула поперечного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$ — обе связывают положение предмета, положение изображения и фокусное расстояние. Резкость изображения на экране — это и есть физическое условие того, что экран совмещён с плоскостью изображения; именно оно превращает «расстояние до экрана» в $f$. Построение изображения для обоих случаев делается стандартной парой лучей: луч, параллельный главной оптической оси, после линзы идёт через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется.