ID: 00026560
Тонкая линза, фокусное расстояние которой 15 см, даёт на экране резкое изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран придвинули к линзе вдоль её главной оптической оси на 30 см. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет так, чтобы изображение снова стало резким. Определите увеличение во втором случае. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение предмета для двух случаев. Экран и предмет расположены перпендикулярно главной оптической оси линзы.
Источник: ФИПИ
Ситуация из фотолаборатории: линза с фокусным расстоянием $F=15$ см даёт на экране резкое увеличенное изображение. Потом экран придвигают к линзе, изображение расплывается, и его снова делают резким — но уже двигая сам предмет. Вопрос: каким стало увеличение. План простой — по первому случаю найти оба расстояния, во втором случае пересчитать их и взять отношение.
Шаг 1 — что известно про первый случай. Резкое изображение на экране означает, что экран стоит точно в плоскости изображения, то есть расстояние от линзы до экрана и есть $f_{1}$. Увеличение $\Gamma_{1}=\dfrac{f_{1}}{d_{1}}=5$, откуда $f_{1}=5d_{1}$.
Шаг 2 — находим $d_{1}$ и $f_{1}$. Подставим это в формулу тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$: $$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{5d_{1}}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad\frac{5+1}{5d_{1}}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad\frac{6}{5d_{1}}=\frac{1}{15}.$$ Отсюда $5d_{1}=90$, то есть $d_{1}=18$ см, а $f_{1}=5\cdot18=90$ см. Проверим: $\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{90}=\dfrac{5+1}{90}=\dfrac{1}{15}$ — верно.
Шаг 3 — второй случай. Экран придвинули к линзе на $30$ см, значит новое расстояние до изображения $$f_{2}=90-30=60\ \text{см}.$$ Линзу не трогали, поэтому $F$ прежнее.
Шаг 4 — где теперь предмет. Снова формула тонкой линзы: $$\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{F}-\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{15}-\frac{1}{60}=\frac{4-1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20},$$ то есть $d_{2}=20$ см. Предмет пришлось отодвинуть от линзы (было $18$ см, стало $20$ см) — логично: изображение приблизилось к линзе, значит предмет должен уйти подальше.
Шаг 5 — новое увеличение. $$\Gamma_{2}=\frac{f_{2}}{d_{2}}=\frac{60}{20}=3.$$
Проверка на здравый смысл: предмет по-прежнему стоит между $F=15$ см и $2F=30$ см, а значит изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное — увеличение больше единицы, что мы и получили. И чем дальше предмет от фокуса, тем меньше увеличение: было $18$ см и $\Gamma=5$, стало $20$ см и $\Gamma=3$.
Почему модель именно такая. Линза тонкая, рассматриваем параксиальные лучи, поэтому применимы формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ и формула поперечного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$ — обе связывают положение предмета, положение изображения и фокусное расстояние. Резкость изображения на экране — это и есть физическое условие того, что экран совмещён с плоскостью изображения; именно оно превращает «расстояние до экрана» в $f$. Построение изображения для обоих случаев делается стандартной парой лучей: луч, параллельный главной оптической оси, после линзы идёт через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется.