ID: 00026555
Оптическая сила тонкой собирающей линзы D = 20 дптр. Точечный источник света S находится на главной оптической оси линзы на расстоянии d = 6 см от неё (см. рис. 1). Линзу разрезали вдоль главной оптической оси на две равные части, которые раздвинули на расстояние x = 4 см друг от друга симметрично относительно главной оптической оси линзы (см. рис. 2). Чему равно расстояние между двумя изображениями точечного источника, полученными в каждой из частей линзы? Сделайте рисунок с указанием хода лучей в обеих частях линзы после её разрезания .
Источник: ФИПИ
Фокус эксперимента вот в чём. Целую линзу разрезали вдоль главной оптической оси пополам и половинки раздвинули поперёк оси на x=4 см. Каждая половинка сама по себе осталась куском той же линзы с тем же фокусным расстоянием, но её оптический центр уехал: у верхней он теперь на 2 см выше прежней оси, у нижней — на 2 см ниже. А главная оптическая ось каждой половинки — это прямая, проходящая через её новый центр параллельно старой оси. Поэтому источник S, который раньше сидел точно на оси, теперь для каждой половинки оказался сдвинутым «в сторону» — и каждая даёт своё изображение не на оси.
Шаг 1 — фокусное расстояние. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{20}=0{,}05\ \text{м}=5 см.
Шаг 2 — где по горизонтали получатся изображения. Расстояние вдоль оси не изменилось: половинки сдвинули поперёк, а не вдоль. По формуле тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}: f=\frac{dF}{d-F}=\frac{6\cdot5}{6-5}=30\ \text{см}. Оба изображения окажутся в одной плоскости, на 30 см за линзой.
Шаг 3 — увеличение. Модуль поперечного увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}=\dfrac{30}{6}=5, причём изображение перевёрнутое: точка, стоявшая ниже оси половинки, изобразится выше её оси, и наоборот.
Шаг 4 — как далеко изображение от оси своей половинки. Для верхней половинки её собственная ось поднята на \dfrac{x}{2}=2 см, значит источник находится на 2 см ниже этой оси. Изображение получится на противоположной стороне и в 5 раз дальше: на 2\cdot5=10 см выше оси верхней половинки. Абсолютная высота над старой осью: 2+10=12 см.
Шаг 5 — вторая половинка. Всё то же самое, но зеркально: её ось опущена на 2 см, источник для неё на 2 см выше оси, изображение — на 10 см ниже её оси, то есть на -2-10=-12 см относительно старой оси.
Шаг 6 — расстояние между изображениями. Оба лежат в одной плоскости на расстоянии 30 см от линзы, по разные стороны от старой оси: \Delta=12+12=24\ \text{см}.
Тот же результат можно получить одной формулой: каждое изображение отстоит от своей оси на \dfrac{x}{2}\Gamma, а сами оси разнесены на x, поэтому \Delta=x+x\Gamma=x\left(1+\dfrac{f}{d}\right)=4\left(1+5\right)=24 см — и всё сходится.
Почему модель именно такая. Каждая половинка — по-прежнему тонкая линза с тем же фокусным расстоянием F=\dfrac{1}{D}: разрезание не меняет кривизну поверхностей, а значит и оптическую силу. Работают формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F} и формула поперечного увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}; при этом расстояния до предмета и изображения отсчитываются вдоль главной оптической оси данной половинки, а поперечные смещения — от этой же оси. Луч, идущий через оптический центр половинки, не преломляется — по нему и удобно строить изображение на рисунке; второй луч для построения — идущий параллельно оси половинки, он после неё проходит через её задний фокус.