ID: 00026554
В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут. ЭДС батарейки $E=12$ В, отношение внутреннего сопротивления батарейки к сопротивлению резистора $k=\dfrac{r}{R}=0,2$ . После размыкания ключа К в результате разряда конденсатора на резисторе выделяется количество теплоты Q = 10 мкДж. Найдите заряд q конденсатора до размыкания ключа.
Источник: ФИПИ
Схема простая: батарейка с ЭДС $E$ и внутренним сопротивлением $r$, ключ, а дальше параллельно друг другу висят резистор $R$ и конденсатор $C$. Пока ключ замкнут и всё устоялось, конденсатор заряжен и «сидит тихо». Разомкнём ключ — батарейка отключается, и конденсатору деваться некуда: он разряжается через резистор, отдавая ему всю накопленную энергию. Именно это тепло $Q$ нам и сообщили.
Шаг 1 — что происходит при замкнутом ключе. Через конденсатор постоянный ток не идёт: он «заряжен и стоит». Значит, весь ток течёт по контуру батарейка — резистор, и по закону Ома для полной цепи $$I=\frac{E}{R+r}.$$
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Конденсатор подключён параллельно резистору, поэтому напряжение на нём равно напряжению на резисторе: $$U=IR=\frac{ER}{R+r}=\frac{E}{1+\dfrac{r}{R}}=\frac{E}{1+k}.$$ Обрати внимание, как удачно устроено условие: нам дали не сами $R$ и $r$, а их отношение $k=0{,}2$ — и этого хватает. Считаем: $U=\dfrac{12}{1+0{,}2}=\dfrac{12}{1{,}2}=10$ В.
Шаг 3 — куда девается энергия после размыкания. После размыкания ключа цепь батарейки разорвана, остался только замкнутый контур «конденсатор — резистор». Конденсатор разряжается, и вся запасённая в нём энергия по закону сохранения энергии превращается в тепло на резисторе: $$Q=W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}.$$
Шаг 4 — от энергии к заряду. Заряд конденсатора связан с напряжением как $q=CU$. Чтобы не искать $C$ отдельно, выразим ёмкость из предыдущей формулы, $C=\dfrac{2Q}{U^{2}}$, и подставим: $$q=CU=\frac{2Q}{U^{2}}\cdot U=\frac{2Q}{U}.$$ Это красивый ход: энергию конденсатора можно записать и как $W_{C}=\dfrac{qU}{2}$, откуда сразу $q=\dfrac{2Q}{U}$.
Шаг 5 — считаем. $Q=10\ \text{мкДж}=10^{-5}$ Дж, $U=10$ В: $$q=\frac{2\cdot10^{-5}}{10}=2\cdot10^{-6}\ \text{Кл}=2\ \text{мкКл}.$$
Проверим себя: тогда ёмкость $C=\dfrac{q}{U}=\dfrac{2\cdot10^{-6}}{10}=2\cdot10^{-7}$ Ф $=0{,}2$ мкФ, а её энергия $\dfrac{CU^{2}}{2}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot100}{2}=10^{-5}$ Дж — ровно те самые $10$ мкДж. Всё сходится.
Почему модель именно такая. Опора на три положения. Первое — в установившемся режиме постоянный ток через конденсатор не течёт, поэтому цепь при замкнутом ключе считается последовательной: только $E$, $r$ и $R$; отсюда закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{E}{R+r}$. Второе — при параллельном соединении напряжения одинаковы, поэтому конденсатор заряжен до напряжения на резисторе. Третье — закон сохранения энергии для разряда: после размыкания ключа единственный элемент, где выделяется теплота, — резистор $R$, значит вся энергия заряженного конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}=\dfrac{qU}{2}$ переходит в теплоту $Q$.