ID: 00026553
Квадрат со стороной a = 20 см лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 2,5 дптр так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы $d_{1}$ = 80 см. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Источник: ФИПИ
Разберёмся с картинкой. Квадрат стоит «на уголке»: его плоскость совпадает с плоскостью рисунка, одна диагональ перпендикулярна главной оптической оси, а вторая лежит прямо на оси. Значит, две вершины квадрата сидят на самой оси (ближняя к линзе и дальняя), а две другие торчат вверх и вниз от оси на одинаковую высоту. Изображение каждой вершины строим по формуле тонкой линзы, а потом считаем площадь получившегося четырёхугольника.
Шаг 1 — фокусное расстояние и размеры. Из оптической силы: $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4\ \text{м}=40$ см. Диагональ квадрата со стороной $a=20$ см равна $a\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ см, значит половина диагонали $h=10\sqrt{2}\approx14{,}1$ см. Это и «вылет» боковых вершин от оси, и полурасстояние от центра до вершин, лежащих на оси.
Шаг 2 — где стоят вершины. Центр квадрата удалён на $d_{1}=80$ см. Тогда ближняя вершина: $d_{A}=80-10\sqrt{2}\approx65{,}9$ см; дальняя: $d_{C}=80+10\sqrt{2}\approx94{,}1$ см; обе боковые вершины стоят на расстоянии $80$ см от линзы, на высотах $\pm10\sqrt{2}$ см от оси.
Шаг 3 — изображения вершин, лежащих на оси. Из формулы тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ следует $f=\dfrac{dF}{d-F}$. Для ближней вершины: $f_{A}=\dfrac{40\left(80-10\sqrt{2}\right)}{40-10\sqrt{2}}=\dfrac{600+80\sqrt{2}}{7}\approx101{,}9$ см. Для дальней: $f_{C}=\dfrac{40\left(80+10\sqrt{2}\right)}{40+10\sqrt{2}}=\dfrac{600-80\sqrt{2}}{7}\approx69{,}6$ см. Обе точки, разумеется, остаются на оси.
Шаг 4 — изображения боковых вершин. Они стоят на $d=80\ \text{см}=2F$ — знаменитый случай: изображение получается на таком же расстоянии $f=\dfrac{40\cdot80}{80-40}=80$ см, а увеличение $\Gamma=\dfrac{f}{d}=1$. Значит, боковые вершины изобразятся на расстоянии $80$ см от линзы и на тех же высотах $10\sqrt{2}$ см, только перевёрнуто: верхняя уйдёт вниз, нижняя — вверх.
Шаг 5 — что за фигура получилась. У изображения одна диагональ лежит на оси и тянется от $69{,}6$ см до $101{,}9$ см, её длина $$D_{1}=\frac{600+80\sqrt{2}}{7}-\frac{600-80\sqrt{2}}{7}=\frac{160\sqrt{2}}{7}\approx32{,}3\ \text{см}.$$ Вторая диагональ вертикальна, стоит в сечении $80$ см и имеет длину $D_{2}=2\cdot10\sqrt{2}=20\sqrt{2}\approx28{,}3$ см. Диагонали по-прежнему перпендикулярны, но квадратом фигура быть перестала: ближняя половина растянулась, дальняя сжалась.
Шаг 6 — площадь. У четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями площадь равна половине их произведения: $$S=\frac{1}{2}D_{1}D_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{160\sqrt{2}}{7}\cdot20\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{160\cdot20\cdot2}{7}=\frac{3200}{7}\approx457\ \text{см}^{2}.$$ Это примерно $4{,}6\cdot10^{-2}\ \text{м}^{2}$.
Проверим правдоподобие: площадь самого квадрата $20\cdot20=400\ \text{см}^{2}$, а предмет стоит между $F$ и $2F$... точнее, между $2F$ и $\infty$ по одну сторону и около $2F$ — по другую. Изображение вышло чуть крупнее оригинала, но того же порядка — как и должно быть вблизи точки $2F$, где увеличение равно единице.
Почему модель именно такая. Линза тонкая и рассматривается в параксиальном приближении, поэтому работает формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ и формула поперечного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$, а плоский предмет изображается плоской же фигурой, у которой прямые остаются прямыми. Именно это позволяет построить изображение только по четырём вершинам и соединить их отрезками. Ход лучей для построения стандартный: луч, идущий параллельно главной оптической оси, после линзы проходит через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется; для вершин на оси положение изображения даёт сама формула линзы.