ID: 00026553
Квадрат со стороной a = 20 см лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 2,5 дптр так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы d _{1} = 80 см. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Источник: ФИПИ
Разберёмся с картинкой. Квадрат стоит «на уголке»: его плоскость совпадает с плоскостью рисунка, одна диагональ перпендикулярна главной оптической оси, а вторая лежит прямо на оси. Значит, две вершины квадрата сидят на самой оси (ближняя к линзе и дальняя), а две другие торчат вверх и вниз от оси на одинаковую высоту. Изображение каждой вершины строим по формуле тонкой линзы, а потом считаем площадь получившегося четырёхугольника.
Шаг 1 — фокусное расстояние и размеры. Из оптической силы: F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4\ \text{м}=40 см. Диагональ квадрата со стороной a=20 см равна a\sqrt{2}=20\sqrt{2} см, значит половина диагонали h=10\sqrt{2}\approx14{,}1 см. Это и «вылет» боковых вершин от оси, и полурасстояние от центра до вершин, лежащих на оси.
Шаг 2 — где стоят вершины. Центр квадрата удалён на d_{1}=80 см. Тогда ближняя вершина: d_{A}=80-10\sqrt{2}\approx65{,}9 см; дальняя: d_{C}=80+10\sqrt{2}\approx94{,}1 см; обе боковые вершины стоят на расстоянии 80 см от линзы, на высотах \pm10\sqrt{2} см от оси.
Шаг 3 — изображения вершин, лежащих на оси. Из формулы тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F} следует f=\dfrac{dF}{d-F}. Для ближней вершины: f_{A}=\dfrac{40\left(80-10\sqrt{2}\right)}{40-10\sqrt{2}}=\dfrac{600+80\sqrt{2}}{7}\approx101{,}9 см. Для дальней: f_{C}=\dfrac{40\left(80+10\sqrt{2}\right)}{40+10\sqrt{2}}=\dfrac{600-80\sqrt{2}}{7}\approx69{,}6 см. Обе точки, разумеется, остаются на оси.
Шаг 4 — изображения боковых вершин. Они стоят на d=80\ \text{см}=2F — знаменитый случай: изображение получается на таком же расстоянии f=\dfrac{40\cdot80}{80-40}=80 см, а увеличение \Gamma=\dfrac{f}{d}=1. Значит, боковые вершины изобразятся на расстоянии 80 см от линзы и на тех же высотах 10\sqrt{2} см, только перевёрнуто: верхняя уйдёт вниз, нижняя — вверх.
Шаг 5 — что за фигура получилась. У изображения одна диагональ лежит на оси и тянется от 69{,}6 см до 101{,}9 см, её длина D_{1}=\frac{600+80\sqrt{2}}{7}-\frac{600-80\sqrt{2}}{7}=\frac{160\sqrt{2}}{7}\approx32{,}3\ \text{см}. Вторая диагональ вертикальна, стоит в сечении 80 см и имеет длину D_{2}=2\cdot10\sqrt{2}=20\sqrt{2}\approx28{,}3 см. Диагонали по-прежнему перпендикулярны, но квадратом фигура быть перестала: ближняя половина растянулась, дальняя сжалась.
Шаг 6 — площадь. У четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями площадь равна половине их произведения: S=\frac{1}{2}D_{1}D_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{160\sqrt{2}}{7}\cdot20\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{160\cdot20\cdot2}{7}=\frac{3200}{7}\approx457\ \text{см}^{2}. Это примерно 4{,}6\cdot10^{-2}\ \text{м}^{2}.
Проверим правдоподобие: площадь самого квадрата 20\cdot20=400\ \text{см}^{2}, а предмет стоит между F и 2F... точнее, между 2F и \infty по одну сторону и около 2F — по другую. Изображение вышло чуть крупнее оригинала, но того же порядка — как и должно быть вблизи точки 2F, где увеличение равно единице.
Почему модель именно такая. Линза тонкая и рассматривается в параксиальном приближении, поэтому работает формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F} и формула поперечного увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}, а плоский предмет изображается плоской же фигурой, у которой прямые остаются прямыми. Именно это позволяет построить изображение только по четырём вершинам и соединить их отрезками. Ход лучей для построения стандартный: луч, идущий параллельно главной оптической оси, после линзы проходит через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется; для вершин на оси положение изображения даёт сама формула линзы.