ID: 00026552
На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R $\approx$ 50 см. Предположим, что в промежуток между обкладками конденсатора из источника заряженных частиц (и.ч.) влетают ионы, как показано на рисунке. Напряжённость электрического поля в конденсаторе по модулю равна 5 кВ/м. Скорость ионов равна 10 5 м/с. При каком значении отношения заряда к массе ионы пролетят сквозь конденсатор, не коснувшись его пластин? Считать, что расстояние между обкладками конденсатора мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Устройство на рисунке — это «фильтр» для ионов. Две изогнутые дугой пластины образуют узкий криволинейный коридор радиусом $R\approx50$ см, между ними создано электрическое поле, направленное поперёк коридора. Ион влетает в этот коридор и пролетит его насквозь, не задев пластин, только если будет двигаться ровно по дуге — то есть если электрическая сила окажется в точности той центростремительной силой, которая нужна для окружности радиуса $R$.
Шаг 1 — какие силы действуют. Влиянием силы тяжести условие велит пренебречь, магнитного поля нет, поэтому на ион действует одна-единственная сила — со стороны электрического поля: $F=qE$. Она направлена поперёк скорости, к центру дуги (поле «прижимает» ион к внутренней пластине ровно настолько, чтобы он не улетел к внешней).
Шаг 2 — почему скорость не меняется по модулю. Раз единственная сила перпендикулярна скорости, она не совершает работы и не меняет модуль скорости — она только поворачивает вектор скорости. Значит, движение по коридору равномерное по окружности со скоростью $\upsilon=10^{5}$ м/с.
Шаг 3 — второй закон Ньютона для движения по окружности. Центростремительное ускорение равно $a=\dfrac{\upsilon^{2}}{R}$, и его создаёт электрическая сила: $$qE=\frac{m\upsilon^{2}}{R}.$$
Шаг 4 — выражаем нужное отношение. Делим обе части на $mE$: $$\frac{q}{m}=\frac{\upsilon^{2}}{ER}.$$ Подставляем $\upsilon=10^{5}$ м/с, $E=5\ \text{кВ/м}=5\cdot10^{3}$ В/м, $R=50\ \text{см}=0{,}5$ м: $$\frac{q}{m}=\frac{\left(10^{5}\right)^{2}}{5\cdot10^{3}\cdot0{,}5}=\frac{10^{10}}{2{,}5\cdot10^{3}}=4\cdot10^{6}\ \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}.$$
Правдоподобно ли это? У протона отношение заряда к массе примерно $9{,}6\cdot10^{7}$ Кл/кг, значит наш ион примерно в 24 раза «тяжелее на единицу заряда» — это как раз область не самых лёгких однозарядных ионов. Обрати внимание и на главное свойство прибора: ни от знака заряда по отдельности, ни от массы по отдельности результат не зависит — сквозь щель проходят только частицы с определённым отношением $q/m$, за что устройство и называют отборщиком.
Почему модель именно такая. Ион считаем материальной точкой, движущейся по дуге окружности радиуса $R$, потому что зазор между обкладками мал по сравнению с $R$ и поле в нём всюду одинаково по модулю. Работают два закона: определение напряжённости электрического поля через силу, действующую на заряд ($F=qE$), и второй закон Ньютона для движения по окружности, где равнодействующая направлена к центру и равна $\dfrac{m\upsilon^{2}}{R}$. Отсутствие тангенциальной силы гарантирует постоянство модуля скорости, поэтому радиус траектории не меняется на всём пути.