Задание ЕГЭ по физике: По двум горизонтальным параллельным проводящим рельсам с…

№2. Задание без номера

ID: 00026547

По двум горизонтальным параллельным проводящим рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением, замкнутым на последовательно соединённые резистор с сопротивлением R = 1 Ом и катушку с индуктивностью L = 10 мГн, скользит поступательно и равномерно проводящий стержень (см. рисунок). Расстояние между рельсами l = 10 см. Рельсы со стержнем находятся в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. При этом энергия магнитного поля катушки W постоянна и равна 8 мкДж . Каков модуль скорости движения стержня? Сопротивлением стержня и катушки пренебречь. Рельсы закреплены на диэлектрической подложке.

Источник: ФИПИ

Решение

Разберёмся, что за конструкция перед нами. Два рельса лежат горизонтально, по ним едет металлический стержень, а замкнута цепь на резистор $R=1$ Ом и катушку $L=10$ мГн. Магнитное поле $B=1$ Тл вертикальное, то есть перпендикулярно плоскости рельсов (на рисунке оно показано точкой — направлено на нас). Едущий стержень тут работает как маленькая батарейка: пересекая линии поля, он создаёт ЭДС индукции.

Шаг 1 — что даёт слово «равномерно». Стержень движется с постоянной скоростью, значит ЭДС индукции $\mathcal{E}=Blv$ тоже постоянна, и ток в цепи давно установился и больше не меняется. Про это же говорит и условие: энергия магнитного поля катушки $W$ постоянна, а она зависит только от тока. Раз ток не меняется, катушка не сопротивляется — ЭДС самоиндукции равна нулю, и напряжения на катушке нет. Вся ЭДС стержня падает на резисторе.

Шаг 2 — находим ток из энергии катушки. Энергия магнитного поля катушки: $W=\dfrac{LI^2}{2}$ . Отсюда $I=\sqrt{\dfrac{2W}{L}}$ . Переведём в СИ: $W=8\ \text{мкДж}=8\cdot10^{-6}$ Дж, $L=10\ \text{мГн}=10^{-2}$ Гн. Тогда $I=\sqrt{\dfrac{2\cdot8\cdot10^{-6}}{10^{-2}}}=\sqrt{1{,}6\cdot10^{-3}}=0{,}04$ А, то есть $40$ мА.

Шаг 3 — какая ЭДС нужна, чтобы гнать такой ток. Сопротивление есть только у резистора (сопротивлением рельсов, стержня и катушки условие велит пренебречь), поэтому по закону Ома для участка цепи $\mathcal{E}=IR=0{,}04\cdot1=0{,}04$ В.

Шаг 4 — от ЭДС к скорости. Для прямого проводника, который движется перпендикулярно самому себе и перпендикулярно полю, ЭДС индукции равна $\mathcal{E}=Blv$ , где $l=10\ \text{см}=0{,}1$ м — длина рабочей части стержня, то есть расстояние между рельсами. Выражаем скорость: $v=\dfrac{\mathcal{E}}{Bl}=\dfrac{0{,}04}{1\cdot0{,}1}=0{,}4$ м/с.

Проверим себя обратным ходом: при $v=0{,}4$ м/с ЭДС равна $1\cdot0{,}1\cdot0{,}4=0{,}04$ В, ток $0{,}04/1=0{,}04$ А, энергия катушки $\dfrac{10^{-2}\cdot0{,}04^2}{2}=8\cdot10^{-6}$ Дж — ровно те самые $8$ мкДж. Всё сходится.

Почему работает именно такая модель. Здесь используются три закона. Первый — закон электромагнитной индукции Фарадея в частном виде для прямого проводника: $\mathcal{E}=Blv$ ; он применим, потому что поле однородно, стержень перпендикулярен рельсам, а его скорость перпендикулярна и стержню, и вектору индукции. Второй — закон Ома для участка цепи $\mathcal{E}=IR$ : он записан так просто именно потому, что при установившемся постоянном токе катушка ведёт себя как кусок провода без сопротивления (ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ обращается в ноль при $\Delta I=0$ ). Третий — формула энергии магнитного поля катушки с током $W=\dfrac{LI^2}{2}$ , которая и позволяет вытащить ток из данных задачи.

Ответ