Задание 24 ЕГЭ по физике: Два теплоизолированных сосуда, объёмы которых V индекс 1 равно…

№2. Задание 24

ID: 00026546

Два теплоизолированных сосуда, объёмы которых $V_1=2V$ и $V_2=V$ , соединены между собой трубкой с вентилем. Вентиль закрыт. Сосуды содержат соответственно разреженный аргон и разреженный криптон в количествах $n_1$ и $n_2=2n_1$ при температурах $T_1$ и $T_2=2T_1$ соответственно. Каким будет давление в сосудах, если вентиль открыть?

Источник: ФИПИ

Решение

Опишем происходящее человеческим языком. Два «термоса» разного размера соединены трубкой с вентилем: в большом (объём $2V$ ) сидит аргон, в маленьком (объём $V$ ) — криптон, причём криптона вдвое больше по количеству и он вдвое горячее. Открываем вентиль — газы разбегаются по всему доступному объёму и перемешиваются. Через какое-то время во всей системе устанавливается одна температура и одно давление. Его и надо найти. Ни одного числа в условии нет, значит ответ будет формулой через $n_1$ , $T_1$ и $V$ .

Шаг 1 — что не меняется. Сосуды теплоизолированы, наружу теплота не уходит: $Q=0$ . Стенки жёсткие и неподвижные, наружу газ работы не совершает: $A=0$ . Значит по первому закону термодинамики $\Delta U=Q-A=0$ — полная внутренняя энергия системы остаётся той же, какой была. Расширение газов друг в друга происходит внутри системы и никакой работы над внешними телами не производит.

Шаг 2 — записываем баланс энергий. И аргон, и криптон — одноатомные (это инертные газы), поэтому внутренняя энергия каждого считается по одной и той же формуле $U=\dfrac{3}{2}nRT$ . Приравниваем «до» и «после»: $\frac{3}{2}n_1RT_1+\frac{3}{2}n_2RT_2=\frac{3}{2}\left(n_1+n_2\right)RT,$ где $T$ — установившаяся температура. Множитель $\dfrac{3}{2}R$ есть во всех слагаемых, сокращаем его: $n_1T_1+n_2T_2=\left(n_1+n_2\right)T.$

Шаг 3 — подставляем данные условия. По условию $n_2=2n_1$ и $T_2=2T_1$ : $n_1T_1+2n_1\cdot2T_1=\left(n_1+2n_1\right)T\quad\Rightarrow\quad n_1T_1+4n_1T_1=3n_1T.$ Слева $5n_1T_1$ , поэтому $3n_1T=5n_1T_1$ , и после сокращения на $n_1$ : $T=\frac{5T_1}{3}.$ Прикинем разумность: $\dfrac{5}{3}\approx1{,}67$ , то есть итоговая температура лежит между $T_1$ и $2T_1$ и ближе к горячей — логично, ведь горячего газа вдвое больше.

Шаг 4 — считаем давление. Полный объём системы: $V_{\text{полн}}=V_1+V_2=2V+V=3V$ . Полное количество вещества: $n_1+n_2=3n_1$ . Газы разреженные и не реагируют друг с другом, поэтому их давления просто складываются (закон Дальтона), а для смеси в целом справедливо уравнение состояния идеального газа: $p\cdot3V=3n_1R\,T.$

Шаг 5 — подставляем найденную температуру: $p\cdot3V=3n_1R\cdot\frac{5T_1}{3}=5n_1RT_1\quad\Rightarrow\quad p=\frac{5n_1RT_1}{3V}.$

Проверим себя по единицам: $n_1R T_1$ — это моль на Дж/(моль $\cdot$ К) на К, то есть джоули; джоуль делить на кубометр даёт паскаль. Всё верно, получилось давление.

Об условиях применимости. Газы по условию разреженные, значит их можно считать идеальными: для них справедливо уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=nRT$ , а давление смеси равно сумме парциальных давлений по закону Дальтона — поэтому в расчёт входит только суммарное количество вещества, а разница в сортах газа роли не играет. Аргон и криптон — инертные одноатомные газы, они не вступают в реакцию, и для обоих действует формула внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\frac{3}{2}nRT$ : именно поэтому уравнение теплового баланса свелось к простому соотношению между температурами. Теплоизоляция сосудов даёт $Q=0$ , неподвижность стенок — $A=0$ , откуда по первому закону термодинамики суммарная внутренняя энергия сохраняется. Предполагается также, что после открытия вентиля система успела прийти к равновесию: температура и давление выровнялись по всему объёму.

Ответ

p=\dfrac{5n_1RT_1}{3V}

(при этом установившаяся температура

T=\dfrac{5T_1}{3}

)