Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026536

Опишем происходящее словами. Горизонтальный цилиндр закреплён в вакууме; внутри — литр гелия, запертый поршнем, который упирается в упоры и может ехать только влево. Справа в поршень прилетает пуля, застревает в нём, и теперь эта пара движется влево, сжимая газ. Когда поршень окажется в крайнем левом положении, он на мгновение остановится — вот в этот момент нас и спрашивают температуру гелия.

Шаг 1 — скорость после попадания пули. Пуля застряла в поршне, значит удар абсолютно неупругий и надо пользоваться законом сохранения импульса: $$m_{п}v=(m_{п}+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{0{,}01\cdot 300}{0{,}01+0{,}09}=\dfrac{3}{0{,}1}=30\ \text{м/с}.$$ Кинетическая энергия у пули при этом сильно уменьшилась: было $\dfrac{0{,}01\cdot 300^2}{2}=450$ Дж, стало $$E=\dfrac{(m_{п}+M)u^2}{2}=\dfrac{0{,}1\cdot 30^2}{2}=45\ \text{Дж}.$$ Потерянные $405$ Дж ушли на деформацию и нагрев самой пули с поршнем — газу они не достались.

Шаг 2 — куда девается эта энергия дальше. Поршень летит влево и сжимает гелий, а в крайнем левом положении останавливается: кинетическая энергия обращается в ноль. Снаружи вакуум, значит против атмосферного давления работать не надо; стенки гладкие — трения нет; теплообмен, по условию, не успевает произойти, то есть процесс адиабатный, $Q=0$. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A_{газа}$ в этом случае означает, что работа внешних сил над газом целиком превращается в его внутреннюю энергию: $$\Delta U=E=45\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — удобный приём для расчёта. Гелий одноатомный, поэтому $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. Количество вещества отдельно искать не нужно: из уравнения Менделеева — Клапейрона для начального состояния $$\nu R=\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{10^5\cdot 10^{-3}}{300}=\dfrac{100}{300}=\dfrac{1}{3}\ \text{Дж/К}.$$ Здесь мы заранее перевели литр в кубометры: $1$ л $=10^{-3}$ м$^3$, а $100$ кПа $=10^5$ Па.

Шаг 4 — считаем прирост температуры. $$\Delta U=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\Delta T=0{,}5\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad \Delta T=\dfrac{45}{0{,}5}=90\ \text{К}.$$

Шаг 5 — конечная температура. $$T_2=T_1+\Delta T=300+90=390\ \text{К}.$$ Проверим правдоподобие: $45$ Дж — энергия небольшая, но и газа мало (около $0{,}04$ моль), поэтому нагрев на $90$ градусов выглядит убедительно.

Почему такая модель. На этапе удара пуля и поршень образуют замкнутую по горизонтали систему: удар мгновенный, и силы давления газа за это время передать заметный импульс не успевают, — поэтому применим закон сохранения импульса. Механическую энергию на этом этапе сохранять нельзя: удар абсолютно неупругий. На этапе сжатия, наоборот, работает энергетический баланс, ведь вакуум снаружи и гладкие стенки исключают работу против атмосферы и потери на трение, а условие «газ не успевает обменяться теплом» делает процесс адиабатным. Гелий — идеальный одноатомный газ, поэтому его внутренняя энергия равна $\dfrac{3}{2}\nu RT$, а комбинацию $\nu R$ удобно вытащить из начального состояния по уравнению Менделеева — Клапейрона.