ID: 00026530
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой M и конечной площадью основания находится одноатомный идеальный газ.
В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте h , опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рис. 1). Давление газа $p_{0}$ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты Q , и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте H (см. рис. 2). Чему равна площадь основания поршня S ? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разложим происходящее на два разных этапа — в этом вся суть задачи. Сначала поршень лежит на выступах: он никуда не двигается, даже если газ под ним нагревается и начинает давить сильнее. Как только давление газа дорастёт до нужного значения, поршень оторвётся от выступов и дальше поедет вверх. Значит, этап первый — нагрев при постоянном объёме, этап второй — расширение при постоянном давлении.
Шаг 1 — давление на первом этапе. Пока поршень лежит на выступах, часть его веса держат выступы, и давление газа растёт от $p_0$ до значения, при котором поршень «всплывает». Условие отрыва: газ снизу уравновешивает атмосферу сверху и вес поршня, $$p_1S=p_0S+Mg\quad\Rightarrow\quad p_1=p_0+\dfrac{Mg}{S}.$$ Объём при этом остаётся $V_1=Sh$.
Шаг 2 — второй этап. Дальше поршень движется медленно, всё время оставаясь в равновесии, поэтому давление держится тем же: $p_1=\text{const}$. Объём растёт от $Sh$ до $SH$, то есть $\Delta V=S(H-h)$.
Шаг 3 — работа газа. На первом этапе объём не менялся, работа равна нулю. На втором давление постоянно, поэтому $$A=p_1\Delta V=\left(p_0+\dfrac{Mg}{S}\right)S(H-h)=\left(p_0S+Mg\right)(H-h).$$ Физически это понятно: газ поднимает поршень (работа $Mg(H-h)$) и одновременно раздвигает атмосферу (работа $p_0S(H-h)$).
Шаг 4 — изменение внутренней энергии. Газ одноатомный, значит $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$ — считать через температуру не нужно, достаточно начального и конечного произведений $pV$: $$\Delta U=\dfrac{3}{2}\left(p_1\cdot SH-p_0\cdot Sh\right)=\dfrac{3}{2}\left[\left(p_0S+Mg\right)H-p_0Sh\right]=\dfrac{3}{2}\left[p_0S(H-h)+MgH\right].$$
Шаг 5 — первый закон термодинамики. Вся подведённая теплота уходит на нагрев газа и на работу (тепловых потерь нет): $$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}p_0S(H-h)+\dfrac{3}{2}MgH+p_0S(H-h)+Mg(H-h).$$ Соберём подобные: слагаемых с $p_0S(H-h)$ получается $\dfrac{5}{2}$, а при $Mg$ остаётся $\dfrac{3H}{2}+H-h=\dfrac{5H}{2}-h$: $$Q=\dfrac{5}{2}p_0S(H-h)+Mg\left(\dfrac{5H}{2}-h\right).$$
Шаг 6 — выражаем площадь. Умножим всё на $2$: $2Q=5p_0S(H-h)+Mg(5H-2h)$, откуда $$S=\dfrac{2Q-Mg\,(5H-2h)}{5p_0\,(H-h)}.$$ Формула разумна: чем больше теплоты потратили при том же подъёме, тем больше площадь поршня (значит, больше и объём газа, который пришлось прогреть). А если теплоты хватает лишь на подъём самого поршня, числитель обращается в ноль — газа в цилиндре почти нет.
Почему такая модель. Ключ к задаче — понять, что процесс составной: пока поршень опирается на выступы, объём фиксирован (изохора), а после отрыва фиксировано давление (изобара), потому что условие равновесия медленно движущегося поршня $pS=p_0S+Mg$ выполняется в каждый момент и не зависит от его высоты. Стенки гладкие, трения нет, потому в баланс сил входят только давление газа, атмосферное давление и вес. Газ идеальный одноатомный, поэтому $U=\dfrac{3}{2}pV$, и внутреннюю энергию можно посчитать, не зная ни количества вещества, ни температур. Связывает всё первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$; тепловых потерь по условию нет, поэтому вся теплота учтена в этих двух слагаемых.