ID: 00026543
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится $\nu_1=2$ моль гелия при температуре $T_1=400$ К; во втором — $\nu_2=3$ моль аргона при температуре $T_2=300$ К. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится $p=5{,}4$ кПа. Определите объём $V$ одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что здесь происходит. Стоят два одинаковых «термоса», между ними краник. В одном — два моля гелия погорячее, в другом — три моля аргона попрохладнее. Открываем кран: газы перемешиваются, горячий гелий отдаёт энергию холодному аргону, и через какое-то время во всём объёме устанавливается одна общая температура и одно общее давление. Это давление нам сказали, а найти нужно объём одного сосуда.
Шаг 1 — план. Чтобы через давление добраться до объёма, нужно уравнение состояния для смеси. В нём будут: полное количество вещества (его мы знаем — $\nu_1+\nu_2$), полный объём ($2V$, ведь сосуды одинаковые, а трубкой пренебрегаем) и температура смеси. Температура — единственное неизвестное, и её мы сейчас найдём из энергетики.
Шаг 2 — почему сохраняется внутренняя энергия. Сосуды теплоизолированы, значит наружу теплота не уходит: $Q=0$. Наружу газ и работы не совершает: суммарный объём системы фиксирован, стенки не двигаются, а расширение одного газа в объём другого происходит внутри системы, $A=0$. Тогда первый закон термодинамики $\Delta U=Q-A_{\text{газа}}$ даёт $\Delta U=0$: полная внутренняя энергия смеси такая же, какой была сумма энергий двух порций.
Шаг 3 — уравнение теплового баланса. Тут важный момент: и гелий, и аргон — одноатомные газы, у обоих внутренняя энергия считается по одной и той же формуле $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Поэтому $$\frac{3}{2}\nu_1RT_1+\frac{3}{2}\nu_2RT_2=\frac{3}{2}\left(\nu_1+\nu_2\right)RT.$$ Множитель $\dfrac{3}{2}R$ стоит всюду и сокращается: $$\nu_1T_1+\nu_2T_2=\left(\nu_1+\nu_2\right)T\quad\Rightarrow\quad T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}.$$ То есть общая температура — это просто среднее из двух температур, взвешенное по количеству вещества.
Шаг 4 — считаем температуру: $$T=\frac{2\cdot400+3\cdot300}{2+3}=\frac{800+900}{5}=\frac{1700}{5}=340\ \text{К}.$$ Проверка на глазок: $340$ К лежит между $300$ К и $400$ К и ближе к $300$ К — логично, ведь аргона больше.
Шаг 5 — уравнение состояния для смеси. Газы разреженные и химически не реагируют, поэтому давление смеси — это сумма давлений каждого газа (закон Дальтона), а вместе они дают обычное уравнение состояния идеального газа с суммарным количеством вещества: $$p\cdot2V=\left(\nu_1+\nu_2\right)RT.$$
Шаг 6 — выражаем объём и подставляем числа. $$V=\frac{\left(\nu_1+\nu_2\right)RT}{2p}=\frac{5\ \text{моль}\cdot8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot340\ \text{К}}{2\cdot5400\ \text{Па}}.$$ Числитель: $5\cdot8{,}31=41{,}55$; затем $41{,}55\cdot340=14\,127$ Дж. Знаменатель: $2\cdot5400=10\,800$ Па. Делим: $$V=\frac{14\,127}{10\,800}\approx1{,}31\ \text{м}^3.$$ Округляем: $V\approx1{,}3$ м³.
Проверим размерность: Дж делить на Па — это (Н$\cdot$м) делить на (Н/м²), то есть м³. Всё честно.
Об условиях применимости. Оба газа считаем идеальными и разреженными, они не реагируют друг с другом, поэтому законны уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=\nu RT$ и закон Дальтона для давления смеси разреженных газов. Гелий и аргон — одноатомные, значит для обоих справедлива формула внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, и именно поэтому уравнение теплового баланса свелось к простому взвешенному среднему температур. Теплоизоляция сосудов и неподвижность стенок дают $Q=0$ и $A=0$, откуда по первому закону термодинамики следует сохранение суммарной внутренней энергии. Слова «в установившемся равновесном состоянии» означают, что температура и давление успели выровняться по всему объёму.