Задание 24 ЕГЭ по физике: Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой…
№2. Задание 24
ID: 00026543
Два одинаковых теплоизолированных сосуда соединены короткой трубкой с краном. В первом сосуде находится \nu_1=2 моль гелия при температуре T_1=400 К; во втором — \nu_2=3 моль аргона при температуре T_2=300 К. Кран открывают. В установившемся равновесном состоянии давление в сосудах становится p=5{,}4 кПа. Определите объём V одного сосуда. Объёмом трубки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Решение
Что здесь происходит. Стоят два одинаковых «термоса», между ними краник. В одном — два моля гелия погорячее, в другом — три моля аргона попрохладнее. Открываем кран: газы перемешиваются, горячий гелий отдаёт энергию холодному аргону, и через какое-то время во всём объёме устанавливается одна общая температура и одно общее давление. Это давление нам сказали, а найти нужно объём одного сосуда.
Шаг 1 — план. Чтобы через давление добраться до объёма, нужно уравнение состояния для смеси. В нём будут: полное количество вещества (его мы знаем — \nu_1+\nu_2), полный объём (2V, ведь сосуды одинаковые, а трубкой пренебрегаем) и температура смеси. Температура — единственное неизвестное, и её мы сейчас найдём из энергетики.
Шаг 2 — почему сохраняется внутренняя энергия. Сосуды теплоизолированы, значит наружу теплота не уходит: Q=0. Наружу газ и работы не совершает: суммарный объём системы фиксирован, стенки не двигаются, а расширение одного газа в объём другого происходит внутри системы, A=0. Тогда первый закон термодинамики \Delta U=Q-A_{\text{газа}} даёт \Delta U=0: полная внутренняя энергия смеси такая же, какой была сумма энергий двух порций.
Шаг 3 — уравнение теплового баланса. Тут важный момент: и гелий, и аргон — одноатомные газы, у обоих внутренняя энергия считается по одной и той же формуле U=\dfrac{3}{2}\nu RT. Поэтому \frac{3}{2}\nu_1RT_1+\frac{3}{2}\nu_2RT_2=\frac{3}{2}\left(\nu_1+\nu_2\right)RT. Множитель \dfrac{3}{2}R стоит всюду и сокращается: \nu_1T_1+\nu_2T_2=\left(\nu_1+\nu_2\right)T\quad\Rightarrow\quad T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}. То есть общая температура — это просто среднее из двух температур, взвешенное по количеству вещества.
Шаг 4 — считаем температуру: T=\frac{2\cdot400+3\cdot300}{2+3}=\frac{800+900}{5}=\frac{1700}{5}=340\ \text{К}. Проверка на глазок: 340 К лежит между 300 К и 400 К и ближе к 300 К — логично, ведь аргона больше.
Шаг 5 — уравнение состояния для смеси. Газы разреженные и химически не реагируют, поэтому давление смеси — это сумма давлений каждого газа (закон Дальтона), а вместе они дают обычное уравнение состояния идеального газа с суммарным количеством вещества: p\cdot2V=\left(\nu_1+\nu_2\right)RT.
Шаг 6 — выражаем объём и подставляем числа. V=\frac{\left(\nu_1+\nu_2\right)RT}{2p}=\frac{5\ \text{моль}\cdot8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot340\ \text{К}}{2\cdot5400\ \text{Па}}. Числитель: 5\cdot8{,}31=41{,}55; затем 41{,}55\cdot340=14\,127 Дж. Знаменатель: 2\cdot5400=10\,800 Па. Делим: V=\frac{14\,127}{10\,800}\approx1{,}31\ \text{м}^3. Округляем: V\approx1{,}3 м³.
Проверим размерность: Дж делить на Па — это (Н\cdotм) делить на (Н/м²), то есть м³. Всё честно.
Об условиях применимости. Оба газа считаем идеальными и разреженными, они не реагируют друг с другом, поэтому законны уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) pV=\nu RT и закон Дальтона для давления смеси разреженных газов. Гелий и аргон — одноатомные, значит для обоих справедлива формула внутренней энергии одноатомного идеального газа U=\frac{3}{2}\nu RT, и именно поэтому уравнение теплового баланса свелось к простому взвешенному среднему температур. Теплоизоляция сосудов и неподвижность стенок дают Q=0 и A=0, откуда по первому закону термодинамики следует сохранение суммарной внутренней энергии. Слова «в установившемся равновесном состоянии» означают, что температура и давление успели выровняться по всему объёму.
Ответ
V=\dfrac{(\nu_1+\nu_2)RT}{2p}=\dfrac{5\cdot8{,}31\cdot340}{2\cdot5400}\approx1{,}3 м³ (при этом установившаяся температура T=340 К)