ID: 00026535
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью k . В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L , а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p 0 (см. рисунок). Какое количество теплоты Q передано затем газу, если в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b ?
Источник: ФИПИ
Осмотрим установку. Горизонтальный цилиндр, слева у дна заперт одноатомный газ, справа поршень площадью $S$, а на него снаружи давит атмосфера. Внутри газовой части стоит пружина жёсткостью $k$, соединяющая поршень с дном. Изначально поршень находится на расстоянии $L$ от дна, потом газу передают теплоту, и поршень уезжает вправо на $b$. Найти надо саму эту теплоту.
Шаг 1 — начальное состояние пружины. Запишем условие равновесия поршня в начале: газ давит вправо силой $pS$, атмосфера влево — $p_0S$, плюс сила пружины. По условию $p=p_0$, значит первые две силы уже друг друга уравновешивают, и на пружину не остаётся ничего: она не деформирована. Поэтому смещение поршня на $b$ — это ровно деформация пружины.
Шаг 2 — конечное давление. После смещения растянутая пружина тянет поршень назад с силой $kb$, и равновесие требует $$p_2S=p_0S+kb\quad\Rightarrow\quad p_2=p_0+\dfrac{kb}{S}.$$ Поршень движется медленно, значит равновесие выполняется в каждый момент, и давление растёт с деформацией линейно — от $p_0$ до $p_2$.
Шаг 3 — работа газа как площадь под графиком. Раз давление меняется линейно, на диаграмме $p$–$V$ процесс — прямой отрезок, а площадь под ним — площадь трапеции: среднее давление умножить на изменение объёма. Среднее давление равно $\dfrac{p_0+p_2}{2}=p_0+\dfrac{kb}{2S}$, а $\Delta V=Sb$, поэтому $$A=\left(p_0+\dfrac{kb}{2S}\right)Sb=p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}.$$ Второе слагаемое — это в точности энергия, запасённая в растянутой пружине; первое — работа против атмосферы.
Шаг 4 — изменение внутренней энергии. Газ одноатомный, поэтому $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, и температуры знать не нужно: $$\Delta U=\dfrac{3}{2}\left[p_2S(L+b)-p_0SL\right]=\dfrac{3}{2}\left[\left(p_0S+kb\right)(L+b)-p_0SL\right]=\dfrac{3}{2}\left[p_0Sb+kb(L+b)\right].$$
Шаг 5 — первый закон термодинамики. Складываем: $$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+\dfrac{3}{2}kb^2+p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}.$$ Приводим подобные: при $p_0Sb$ выходит $\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$, а при $kb^2$ — $\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2$: $$Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+2kb^2=\dfrac{5p_0Sb+kb\,(3L+4b)}{2}.$$
Проверим смысл каждого слагаемого. Часть теплоты ушла в нагрев газа, часть — на выталкивание атмосферы, часть — в пружину. Если пружины нет ($k=0$), остаётся $Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb$ — знакомый ответ для чисто изобарного расширения при давлении $p_0$. Это хорошая проверка формулы на «предельном случае».
Почему такая модель. Цилиндр горизонтален и стенки гладкие, поэтому ни вес поршня, ни трение в баланс сил не входят, а «медленно» означает, что поршень всё время в равновесии — отсюда линейная связь давления газа со смещением. Сила пружины подчиняется закону Гука $F=kx$, а её энергия равна $\dfrac{kx^2}{2}$. Газ идеальный одноатомный, поэтому внутренняя энергия равна $\dfrac{3}{2}pV$ — считать через количество вещества и температуру не нужно. Всё связывает первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$: теплота распределяется между нагревом газа и работой, а работа, в свою очередь, — между атмосферой и пружиной.