ID: 00026539
1 моль идеального одноатомного газа участвует в процессе 1–2–3, график которого представлен на рисунке в координатах V–p, где V — объём газа, p — его давление. Температуры газа в состояниях 1 и 3 равны: T_1=T_3=300 К. В процессе 2–3 газ увеличил свой объём в 3 раза. Какое количество теплоты отдал газ в процессе 1–2?
Источник: ФИПИ
Первое, что здесь сбивает с толку, — необычные оси. Обычно рисуют p по вертикали, а тут наоборот: по вертикали отложен объём V, по горизонтали давление p. Поэтому читать график надо внимательно. Отрезок 1\to2 идёт горизонтально — значит по вертикали ничего не меняется, объём постоянен, а давление уменьшается: это изохорное охлаждение. Отрезок 2\to3 идёт вертикально вверх — значит по горизонтали ничего не меняется, давление постоянно, а объём растёт: это изобарное расширение. Пунктирная кривая, проходящая через точки 1 и 3, — это изотерма, у неё pV=\text{const}, и она честно отражает то, что сказано в условии: T_1=T_3.
Шаг 1 — что нам вообще нужно. Спрашивают теплоту на участке 1\to2. Там объём не меняется, поршень стоит на месте, поэтому газ работы не совершает: A_{12}=0. По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A вся теплота сводится к изменению внутренней энергии: Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_2-T_1\right) (для идеального одноатомного газа внутренняя энергия равна U=\frac{3}{2}\nu RT). Значит вся работа — найти температуру T_2.
Шаг 2 — переведём слова про объёмы в буквы. Раз 1\to2 — изохора, объёмы совпадают: V_2=V_1. Раз 2\to3 — изобара, давления совпадают: p_2=p_3. А по условию в процессе 2\to3 объём вырос втрое: V_3=3V_2=3V_1.
Шаг 3 — найдём давление p_3. Состояния 1 и 3 имеют одинаковую температуру, поэтому для них выполняется закон Бойля–Мариотта (частный случай уравнения Менделеева–Клапейрона pV=\nu RT при постоянной температуре): p_1V_1=p_3V_3. Подставляем V_3=3V_1: p_1V_1=p_3\cdot3V_1, откуда p_3=\dfrac{p_1}{3}. А значит и p_2=\dfrac{p_1}{3}.
Шаг 4 — найдём температуру T_2. Запишем уравнение состояния для точек 1 и 2: p_1V_1=\nu RT_1 и p_2V_2=\nu RT_2. Поделим второе на первое: \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\dfrac{(p_1/3)\cdot V_1}{p_1V_1}=\dfrac{1}{3}. Отсюда T_2=\dfrac{T_1}{3}=\dfrac{300}{3}=100 К.
Шаг 5 — считаем теплоту. Q_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_2-T_1\right)=\dfrac{3}{2}\cdot1\ \text{моль}\cdot8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot(100-300)\ \text{К}.
Считаем по кусочкам: \dfrac{3}{2}\cdot8{,}31=12{,}465, дальше 12{,}465\cdot(-200)=-2493 Дж. Минус означает, что теплота не подводится, а отводится — газ её отдаёт. По модулю получается 2493 Дж, то есть примерно 2{,}5 кДж.
Проверим себя на здравый смысл: газ охлаждают втрое (с 300 К до 100 К) при неподвижном поршне. Он не может «спрятать» энергию в работу — деваться некуда, вся потерянная внутренняя энергия уходит наружу в виде теплоты. Знак минус в расчёте это и подтверждает.
Почему такое решение законно. Газ по условию идеальный, одноатомный, его количество постоянно и равно \nu=1 моль — поэтому применимы уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) pV=\nu RT и его частный случай для изотермы, закон Бойля–Мариотта. Формула U=\frac{3}{2}\nu RT верна именно для одноатомного идеального газа: у его частиц есть только поступательное движение, вращательной и колебательной энергии нет. Процессы на графике нарисованы линиями, то есть считаются равновесными, поэтому на участке 1\to2 работает первый закон термодинамики Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}, а A_{12}=0, потому что объём газа не меняется.