ID: 00026544
С идеальным одноатомным газом, который находится в сосуде с поршнем, провели два опыта. В первом опыте газу сообщили, закрепив поршень, количество теплоты $Q_1$, в результате чего его температура повысилась на $\Delta T=1$ К. Во втором опыте, предоставив газу возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты $Q_2$, которое на $208$ Дж больше, чем $Q_1$. В результате температура газа повысилась, как и в первом случае, на $\Delta T$. Какова, по данным этих двух опытов, молярная масса газа, если его масса $m=1$ кг?
Источник: ФИПИ
Сюжет здесь почти лабораторный. Один и тот же газ греют дважды и оба раза ровно на один градус, но условия разные. В первый раз поршень закреплён — газ заперт в жёстком объёме. Во второй раз поршню разрешили ехать, и газ расширяется при постоянном давлении. Во втором опыте теплоты понадобилось больше — на $208$ Дж. Вот эта «доплата» и есть ключ к задаче.
Шаг 1 — первый опыт. Поршень закреплён, объём не меняется, значит газ не совершает работы: $A_1=0$. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$ вся теплота идёт во внутреннюю энергию: $$Q_1=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T,$$ где $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, а формула $U=\frac{3}{2}\nu RT$ — внутренняя энергия идеального одноатомного газа.
Шаг 2 — второй опыт. Температура выросла на такую же величину $\Delta T$, значит и внутренняя энергия выросла ровно на столько же: $\Delta U$ — то же самое число. Но теперь газ ещё и толкал поршень, то есть совершал работу. При постоянном давлении работа равна $A_2=p\,\Delta V$, а из уравнения состояния идеального газа $pV=\nu RT$ получаем $p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T$. Значит $$Q_2=\Delta U+A_2=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T+\nu R\,\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T.$$
Шаг 3 — вычитаем одно из другого. Именно вычитание убирает всё лишнее: $$Q_2-Q_1=\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T-\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T=\nu R\,\Delta T.$$ Разность теплот — это в точности работа, которую газ совершил во втором опыте. Внутренняя энергия сократилась целиком, и заметь: множители $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{2}$ тоже исчезли, так что результат не зависит от того, одноатомный газ или нет. Это и есть смысл соотношения Майера: чтобы нагреть моль газа на один градус при постоянном давлении, нужно ровно на $R$ джоулей больше, чем при постоянном объёме.
Шаг 4 — переходим к молярной массе. Количество вещества связано с массой так: $\nu=\dfrac{m}{M}$, где $M$ — искомая молярная масса. Подставляем: $$Q_2-Q_1=\frac{m}{M}R\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad M=\frac{m\,R\,\Delta T}{Q_2-Q_1}.$$
Шаг 5 — считаем. $$M=\frac{1\ \text{кг}\cdot8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot1\ \text{К}}{208\ \text{Дж}}=\frac{8{,}31}{208}\approx0{,}03995\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}}.$$ Округляем: $M\approx0{,}04$ кг/моль, то есть $40$ г/моль.
Проверим себя по смыслу. Полезно сначала прикинуть количество вещества: $\nu=\dfrac{Q_2-Q_1}{R\,\Delta T}=\dfrac{208}{8{,}31\cdot1}\approx25$ моль. Килограмм вещества, разложенный на $25$ молей, даёт как раз $40$ г на моль. А $40$ г/моль среди одноатомных газов — это аргон, он и правда одноатомный. Условие про «одноатомный газ» не подвело.
Про применимость модели. Газ считается идеальным с постоянной массой, поэтому справедливо уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=\nu RT$ и связь $\nu=\frac{m}{M}$. К каждому опыту применяется первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$: в первом опыте работа равна нулю, потому что закреплённый поршень не даёт объёму меняться; во втором работа считается по формуле для изобарного процесса $A=p\,\Delta V$. Формула внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$ используется в обоих опытах, но в итоговый ответ она не входит: внутренняя энергия зависит только от температуры, а прирост температуры в опытах одинаков, поэтому при вычитании она сокращается.