ID: 00026544
С идеальным одноатомным газом, который находится в сосуде с поршнем, провели два опыта. В первом опыте газу сообщили, закрепив поршень, количество теплоты Q_1, в результате чего его температура повысилась на \Delta T=1 К. Во втором опыте, предоставив газу возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты Q_2, которое на 208 Дж больше, чем Q_1. В результате температура газа повысилась, как и в первом случае, на \Delta T. Какова, по данным этих двух опытов, молярная масса газа, если его масса m=1 кг?
Источник: ФИПИ
Сюжет здесь почти лабораторный. Один и тот же газ греют дважды и оба раза ровно на один градус, но условия разные. В первый раз поршень закреплён — газ заперт в жёстком объёме. Во второй раз поршню разрешили ехать, и газ расширяется при постоянном давлении. Во втором опыте теплоты понадобилось больше — на 208 Дж. Вот эта «доплата» и есть ключ к задаче.
Шаг 1 — первый опыт. Поршень закреплён, объём не меняется, значит газ не совершает работы: A_1=0. По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A вся теплота идёт во внутреннюю энергию: Q_1=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T, где \nu — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, а формула U=\frac{3}{2}\nu RT — внутренняя энергия идеального одноатомного газа.
Шаг 2 — второй опыт. Температура выросла на такую же величину \Delta T, значит и внутренняя энергия выросла ровно на столько же: \Delta U — то же самое число. Но теперь газ ещё и толкал поршень, то есть совершал работу. При постоянном давлении работа равна A_2=p\,\Delta V, а из уравнения состояния идеального газа pV=\nu RT получаем p\,\Delta V=\nu R\,\Delta T. Значит Q_2=\Delta U+A_2=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T+\nu R\,\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T.
Шаг 3 — вычитаем одно из другого. Именно вычитание убирает всё лишнее: Q_2-Q_1=\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T-\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T=\nu R\,\Delta T. Разность теплот — это в точности работа, которую газ совершил во втором опыте. Внутренняя энергия сократилась целиком, и заметь: множители \frac{3}{2} и \frac{5}{2} тоже исчезли, так что результат не зависит от того, одноатомный газ или нет. Это и есть смысл соотношения Майера: чтобы нагреть моль газа на один градус при постоянном давлении, нужно ровно на R джоулей больше, чем при постоянном объёме.
Шаг 4 — переходим к молярной массе. Количество вещества связано с массой так: \nu=\dfrac{m}{M}, где M — искомая молярная масса. Подставляем: Q_2-Q_1=\frac{m}{M}R\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad M=\frac{m\,R\,\Delta T}{Q_2-Q_1}.
Шаг 5 — считаем. M=\frac{1\ \text{кг}\cdot8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot1\ \text{К}}{208\ \text{Дж}}=\frac{8{,}31}{208}\approx0{,}03995\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}}. Округляем: M\approx0{,}04 кг/моль, то есть 40 г/моль.
Проверим себя по смыслу. Полезно сначала прикинуть количество вещества: \nu=\dfrac{Q_2-Q_1}{R\,\Delta T}=\dfrac{208}{8{,}31\cdot1}\approx25 моль. Килограмм вещества, разложенный на 25 молей, даёт как раз 40 г на моль. А 40 г/моль среди одноатомных газов — это аргон, он и правда одноатомный. Условие про «одноатомный газ» не подвело.
Про применимость модели. Газ считается идеальным с постоянной массой, поэтому справедливо уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) pV=\nu RT и связь \nu=\frac{m}{M}. К каждому опыту применяется первый закон термодинамики Q=\Delta U+A: в первом опыте работа равна нулю, потому что закреплённый поршень не даёт объёму меняться; во втором работа считается по формуле для изобарного процесса A=p\,\Delta V. Формула внутренней энергии одноатомного идеального газа U=\frac{3}{2}\nu RT используется в обоих опытах, но в итоговый ответ она не входит: внутренняя энергия зависит только от температуры, а прирост температуры в опытах одинаков, поэтому при вычитании она сокращается.