Задание 24 ЕГЭ по физике: Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа…

Сюжет такой: один и тот же газ дважды стартует из одной и той же точки 1 и оба раза расширяется до одного и того же объёма V_2, но разными дорогами. Первая дорога — изобара 1–2: давление держат постоянным, для этого газ приходится греть. Вторая дорога — адиабата 1–3: газ теплоизолировали, поэтому он расширяется «за свой счёт» и остывает, и на рисунке кривая 1–3 уходит вниз круче изобары. Нас просят сравнить теплоту, полученную на первой дороге, с тем, сколько внутренней энергии газ потерял на второй.

Хорошая новость: ни одного числа, кроме k=2, тут нет — значит ответ должен получиться в чистом виде через k, а все p_1, V_1, V_2 по дороге сократятся.

Шаг 1 — разберёмся с изобарой 1–2. Давление постоянно, поэтому работа газа равна A_{12}=p_1\left(V_2-V_1\right). Внутреннюю энергию одноатомного идеального газа считаем по формуле U=\dfrac{3}{2}\nu RT, а из уравнения состояния идеального газа \nu RT=pV, поэтому удобнее писать U=\dfrac{3}{2}pV. Тогда \Delta U_{12}=\frac{3}{2}\left(p_1V_2-p_1V_1\right)=\frac{3}{2}\,p_1\left(V_2-V_1\right)=\frac{3}{2}A_{12}. Вот и первая приятная связка: на изобаре изменение внутренней энергии ровно в полтора раза больше работы.

Шаг 2 — теплота на изобаре. По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A: Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}A_{12}+A_{12}=\frac{5}{2}A_{12}. То есть из каждых пяти «порций» подведённой теплоты три уходят на нагрев газа и две — на работу против внешнего давления.

Шаг 3 — разберёмся с адиабатой 1–3. Адиабатный процесс — это процесс без теплообмена с окружением: Q_{13}=0. Подставим это в первый закон термодинамики: 0=\Delta U_{13}+A_{13}\quad\Rightarrow\quad A_{13}=-\Delta U_{13}=U_1-U_3. Газ расширяется, работу совершает положительную, значит U_3\lt U_1 — внутренняя энергия убывает, газ остывает. Поэтому U_1-U_3=|U_3-U_1|, и мы получаем ключевое равенство: A_{13}=|U_3-U_1|. Проще говоря, при адиабатном расширении газ работает буквально «из своего кармана»: сколько энергии потерял — столько работы и совершил.

Шаг 4 — собираем ответ. Нам нужно отношение x=\frac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\frac{\frac{5}{2}A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}k.

Подставляем число: x=\dfrac{5}{2}\cdot2=5.

Проверим себя. Величина x — отношение двух энергий, значит она безразмерна, и это сходится: единицы измерения сократились. И сам масштаб разумен: на изобаре газ и работу совершает, и греется, поэтому теплоты ему нужно заметно больше, чем «энергетическая просадка» при адиабате той же семьи процессов.

О применимости модели. Газ по условию идеальный, одноатомный, его количество постоянно — поэтому законны уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) pV=\nu RT и формула внутренней энергии одноатомного идеального газа U=\frac{3}{2}\nu RT, где учтена только кинетическая энергия поступательного движения атомов. Оба процесса считаются равновесными (на рисунке они нарисованы линиями), поэтому к каждому применим первый закон термодинамики Q=\Delta U+A; для изобары дополнительно используется формула работы газа при постоянном давлении A=p\,\Delta V, а для адиабаты — определение адиабатного процесса как процесса без теплообмена, Q=0. Обрати внимание: конкретный вид адиабаты (уравнение Пуассона) нам не понадобился вовсе — хватило одного лишь условия Q_{13}=0.