Термодинамика — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026541

Сюжет такой: один и тот же газ дважды стартует из одной и той же точки 1 и оба раза расширяется до одного и того же объёма $V_2$, но разными дорогами. Первая дорога — изобара 1–2: давление держат постоянным, для этого газ приходится греть. Вторая дорога — адиабата 1–3: газ теплоизолировали, поэтому он расширяется «за свой счёт» и остывает, и на рисунке кривая 1–3 уходит вниз круче изобары. Нас просят сравнить теплоту, полученную на первой дороге, с тем, сколько внутренней энергии газ потерял на второй.

Хорошая новость: ни одного числа, кроме $k=2$, тут нет — значит ответ должен получиться в чистом виде через $k$, а все $p_1$, $V_1$, $V_2$ по дороге сократятся.

Шаг 1 — разберёмся с изобарой 1–2. Давление постоянно, поэтому работа газа равна $A_{12}=p_1\left(V_2-V_1\right)$. Внутреннюю энергию одноатомного идеального газа считаем по формуле $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а из уравнения состояния идеального газа $\nu RT=pV$, поэтому удобнее писать $U=\dfrac{3}{2}pV$. Тогда $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\left(p_1V_2-p_1V_1\right)=\frac{3}{2}\,p_1\left(V_2-V_1\right)=\frac{3}{2}A_{12}.$$ Вот и первая приятная связка: на изобаре изменение внутренней энергии ровно в полтора раза больше работы.

Шаг 2 — теплота на изобаре. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}A_{12}+A_{12}=\frac{5}{2}A_{12}.$$ То есть из каждых пяти «порций» подведённой теплоты три уходят на нагрев газа и две — на работу против внешнего давления.

Шаг 3 — разберёмся с адиабатой 1–3. Адиабатный процесс — это процесс без теплообмена с окружением: $Q_{13}=0$. Подставим это в первый закон термодинамики: $$0=\Delta U_{13}+A_{13}\quad\Rightarrow\quad A_{13}=-\Delta U_{13}=U_1-U_3.$$ Газ расширяется, работу совершает положительную, значит $U_3\lt U_1$ — внутренняя энергия убывает, газ остывает. Поэтому $U_1-U_3=|U_3-U_1|$, и мы получаем ключевое равенство: $$A_{13}=|U_3-U_1|.$$ Проще говоря, при адиабатном расширении газ работает буквально «из своего кармана»: сколько энергии потерял — столько работы и совершил.

Шаг 4 — собираем ответ. Нам нужно отношение $$x=\frac{Q_{12}}{|U_3-U_1|}=\frac{\frac{5}{2}A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{A_{12}}{A_{13}}=\frac{5}{2}k.$$

Подставляем число: $x=\dfrac{5}{2}\cdot2=5$.

Проверим себя. Величина $x$ — отношение двух энергий, значит она безразмерна, и это сходится: единицы измерения сократились. И сам масштаб разумен: на изобаре газ и работу совершает, и греется, поэтому теплоты ему нужно заметно больше, чем «энергетическая просадка» при адиабате той же семьи процессов.

О применимости модели. Газ по условию идеальный, одноатомный, его количество постоянно — поэтому законны уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=\nu RT$ и формула внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, где учтена только кинетическая энергия поступательного движения атомов. Оба процесса считаются равновесными (на рисунке они нарисованы линиями), поэтому к каждому применим первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$; для изобары дополнительно используется формула работы газа при постоянном давлении $A=p\,\Delta V$, а для адиабаты — определение адиабатного процесса как процесса без теплообмена, $Q=0$. Обрати внимание: конкретный вид адиабаты (уравнение Пуассона) нам не понадобился вовсе — хватило одного лишь условия $Q_{13}=0$.