ID: 00026533
В вакууме закреплён горизонтальный цилиндр (см. рисунок). В цилиндре находится гелий, запертый поршнем. Поршень массой 90 г удерживается упорами и может скользить влево вдоль стенок цилиндра без трения.
В поршень попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, и застревает в нём. Температура гелия в момент остановки поршня в крайнем левом положении возрастает на 64 К. Чему равно количество вещества гелия в цилиндре? Считать, что за время движения поршня газ не успевает обменяться теплом с цилиндром и поршнем.
Источник: ФИПИ
Разложим происходящее на два быстрых события. Сначала пуля массой $m=10$ г влетает в поршень массой $M=90$ г и застревает в нём — это удар, он происходит практически мгновенно. Затем слипшаяся пара «поршень + пуля» едет влево и сжимает гелий, пока не остановится в крайнем левом положении. Цилиндр закреплён в вакууме, значит снаружи на поршень ничто не давит, а стенки гладкие — тормозит поршень только газ.
Шаг 1 — удар. Столкновение абсолютно неупругое (пуля застряла), поэтому сохраняется импульс: $$mv=(m+M)u\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{mv}{m+M}=\dfrac{0{,}01\cdot 400}{0{,}01+0{,}09}=\dfrac{4}{0{,}1}=40\ \text{м/с}.$$ Энергию на этом шаге применять нельзя: при неупругом ударе часть её уходит на разогрев самой пули и поршня. Кстати, посчитай: у пули было $\dfrac{0{,}01\cdot 400^2}{2}=800$ Дж, а осталось лишь $80$ Дж — девять десятых энергии потерялось ещё до того, как газ вообще что-то почувствовал.
Шаг 2 — кинетическая энергия «снаряда с поршнем». $$E=\dfrac{(m+M)u^2}{2}=\dfrac{0{,}1\cdot 40^2}{2}=\dfrac{0{,}1\cdot 1600}{2}=80\ \text{Дж}.$$
Шаг 3 — сжатие газа. Поршень летит влево и сжимает гелий. В крайнем левом положении он на мгновение останавливается, то есть его кинетическая энергия обращается в ноль. Куда она делась? Снаружи вакуум — работы против атмосферы нет; трения нет; теплообмена с цилиндром за столь короткое время газ не успевает (об этом прямо сказано в условии), значит $Q=0$. По первому закону термодинамики для адиабатного процесса вся работа внешних сил над газом превращается в его внутреннюю энергию: $$\Delta U=E=80\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — от энергии к количеству вещества. Гелий — одноатомный газ, его внутренняя энергия равна $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, поэтому при нагреве на $\Delta T=64$ К $$\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T\quad\Rightarrow\quad \nu=\dfrac{2\Delta U}{3R\Delta T}.$$ Подставляем: $$\nu=\dfrac{2\cdot 80}{3\cdot 8{,}31\cdot 64}=\dfrac{160}{1595{,}5}\approx 0{,}10\ \text{моль}.$$
Прикинем правдоподобие: $0{,}1$ моль гелия — это около $0{,}4$ грамма, примерно $2{,}2$ литра при нормальных условиях. Для небольшого цилиндра вполне разумно.
Почему такая модель. На этапе удара работает закон сохранения импульса: удар мгновенный, а внешние силы (давление газа) за это время заметного импульса передать не успевают; закон сохранения механической энергии здесь неприменим именно потому, что удар абсолютно неупругий. На этапе сжатия, наоборот, работает энергетический баланс: процесс адиабатный ($Q=0$ по условию), вакуум снаружи убирает работу против атмосферы, а гладкие стенки — потери на трение, поэтому вся кинетическая энергия поршня с пулей уходит во внутреннюю энергию газа. Формула $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ верна для идеального одноатомного газа, а гелий — как раз такой.