ID: 00026545
В вольфрамовом цилиндре под поршнем водород при атмосферном давлении и температуре $300$ К занимает объём $0{,}1$ л. При нагревании водорода в цилиндре при постоянном давлении часть молекул распадается согласно реакции $\text{H}_2\leftrightarrow\text{H}+\text{H}$, причём процент $\alpha$ распавшихся молекул увеличивается с ростом температуры $T$, как показано на рисунке ($\alpha$ — отношение числа распавшихся молекул к первоначальному числу молекул, выраженное в процентах). Какой объём занимает смесь газов в цилиндре при температуре $3000$ К?
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что тут за фокус. Обычно при нагревании газа под подвижным поршнем объём растёт просто пропорционально абсолютной температуре. Но здесь газ — водород, а его нагревают до трёх тысяч кельвинов (недаром цилиндр вольфрамовый — другой металл такого не выдержит). При такой жаре часть молекул $\text{H}_2$ разваливается на два отдельных атома $\text{H}$. Частиц становится больше, чем было, и объём вырастет сильнее, чем «положено» по одной только температуре. Значит считать надо в два приёма: сначала прирост числа частиц, потом прирост температуры.
Шаг 1 — снимаем число с графика. По горизонтальной оси отложена температура в кельвинах: соседние линии сетки отстоят на $1000$ К (подписаны $2000$ и $4000$). По вертикальной оси — процент распавшихся молекул, шаг сетки $10\%$ (подписаны $20$ и $40$). Находим на оси температур отметку $3000$ К и поднимаемся до кривой: она проходит через точку с ординатой $20\%$. Значит при $T_2=3000$ К распалось $\alpha=20\%=0{,}2$ от исходного числа молекул.
Шаг 2 — считаем частицы. Пусть в начале в цилиндре было $N_0$ молекул водорода. Распалась их пятая часть, то есть $0{,}2N_0$ молекул; каждая дала по два атома, значит атомов получилось $2\cdot0{,}2N_0=0{,}4N_0$. Уцелевших молекул осталось $N_0-0{,}2N_0=0{,}8N_0$.
Шаг 3 — сколько всего частиц стало. Для давления и объёма газа не важно, молекула это или атом — важно только общее число частиц: $$N_2=0{,}8N_0+0{,}4N_0=1{,}2\,N_0.$$ В общем виде это записывается как $N_2=N_0\left(1-\alpha\right)+2\alpha N_0=N_0\left(1+\alpha\right)$: каждый распад добавляет ровно одну «лишнюю» частицу.
Шаг 4 — связываем с объёмом. Смесь молекул $\text{H}_2$ и атомов $\text{H}$ — это разреженные газы, для них работает уравнение $pV=NkT$, где $k$ — постоянная Больцмана. Давление постоянно (поршень свободен и держит атмосферное давление), поэтому для начального и конечного состояний: $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_0T_1}{N_2T_2}\quad\Rightarrow\quad V_2=V_1\cdot\frac{N_2}{N_0}\cdot\frac{T_2}{T_1}=V_1\left(1+\alpha\right)\frac{T_2}{T_1}.$$
Шаг 5 — подставляем числа. $\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{3000}{300}=10$, множитель за счёт распада $1+\alpha=1{,}2$. Тогда $$V_2=0{,}1\ \text{л}\cdot1{,}2\cdot10=1{,}2\ \text{л}.$$ В системе СИ это $1{,}2\cdot10^{-3}$ м³.
Проверим себя. Если бы распада не было вовсе, объём вырос бы ровно в $10$ раз — до $1$ л. Распад двадцати процентов молекул добавил ещё $20\%$ частиц, и объём стал на $20\%$ больше: $1{,}2$ л. Логика сходится.
Про применимость модели. И водород, и получившийся атомарный водород считаем идеальными разреженными газами, поэтому справедливо уравнение состояния идеального газа в форме $pV=NkT$ (равносильно уравнению Менделеева–Клапейрона $pV=\nu RT$), а давление смеси складывается из давлений её компонентов по закону Дальтона — именно поэтому в расчёт входит только суммарное число частиц, а их «сорт» роли не играет. Процесс изобарный: поршень подвижен и уравновешивает постоянное атмосферное давление, что даёт условие равновесия поршня $p=p_{\text{атм}}=\text{const}$. Отдельно отметим, что здесь нельзя пользоваться формулой $\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$ в чистом виде: закон Гей-Люссака выведен для постоянного числа частиц, а у нас число частиц меняется — поэтому оно и стоит в формуле явным множителем.