Задание 24 ЕГЭ по физике: В вольфрамовом цилиндре под поршнем водород при атмосферном…

Разберёмся, что тут за фокус. Обычно при нагревании газа под подвижным поршнем объём растёт просто пропорционально абсолютной температуре. Но здесь газ — водород, а его нагревают до трёх тысяч кельвинов (недаром цилиндр вольфрамовый — другой металл такого не выдержит). При такой жаре часть молекул \text{H}_2 разваливается на два отдельных атома \text{H}. Частиц становится больше, чем было, и объём вырастет сильнее, чем «положено» по одной только температуре. Значит считать надо в два приёма: сначала прирост числа частиц, потом прирост температуры.

Шаг 1 — снимаем число с графика. По горизонтальной оси отложена температура в кельвинах: соседние линии сетки отстоят на 1000 К (подписаны 2000 и 4000). По вертикальной оси — процент распавшихся молекул, шаг сетки 10\% (подписаны 20 и 40). Находим на оси температур отметку 3000 К и поднимаемся до кривой: она проходит через точку с ординатой 20\%. Значит при T_2=3000 К распалось \alpha=20\%=0{,}2 от исходного числа молекул.

Шаг 2 — считаем частицы. Пусть в начале в цилиндре было N_0 молекул водорода. Распалась их пятая часть, то есть 0{,}2N_0 молекул; каждая дала по два атома, значит атомов получилось 2\cdot0{,}2N_0=0{,}4N_0. Уцелевших молекул осталось N_0-0{,}2N_0=0{,}8N_0.

Шаг 3 — сколько всего частиц стало. Для давления и объёма газа не важно, молекула это или атом — важно только общее число частиц: N_2=0{,}8N_0+0{,}4N_0=1{,}2\,N_0. В общем виде это записывается как N_2=N_0\left(1-\alpha\right)+2\alpha N_0=N_0\left(1+\alpha\right): каждый распад добавляет ровно одну «лишнюю» частицу.

Шаг 4 — связываем с объёмом. Смесь молекул \text{H}_2 и атомов \text{H} — это разреженные газы, для них работает уравнение pV=NkT, где k — постоянная Больцмана. Давление постоянно (поршень свободен и держит атмосферное давление), поэтому для начального и конечного состояний: \frac{V_1}{V_2}=\frac{N_0T_1}{N_2T_2}\quad\Rightarrow\quad V_2=V_1\cdot\frac{N_2}{N_0}\cdot\frac{T_2}{T_1}=V_1\left(1+\alpha\right)\frac{T_2}{T_1}.

Шаг 5 — подставляем числа. \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{3000}{300}=10, множитель за счёт распада 1+\alpha=1{,}2. Тогда V_2=0{,}1\ \text{л}\cdot1{,}2\cdot10=1{,}2\ \text{л}. В системе СИ это 1{,}2\cdot10^{-3} м³.

Проверим себя. Если бы распада не было вовсе, объём вырос бы ровно в 10 раз — до 1 л. Распад двадцати процентов молекул добавил ещё 20\% частиц, и объём стал на 20\% больше: 1{,}2 л. Логика сходится.

Про применимость модели. И водород, и получившийся атомарный водород считаем идеальными разреженными газами, поэтому справедливо уравнение состояния идеального газа в форме pV=NkT (равносильно уравнению Менделеева–Клапейрона pV=\nu RT), а давление смеси складывается из давлений её компонентов по закону Дальтона — именно поэтому в расчёт входит только суммарное число частиц, а их «сорт» роли не играет. Процесс изобарный: поршень подвижен и уравновешивает постоянное атмосферное давление, что даёт условие равновесия поршня p=p_{\text{атм}}=\text{const}. Отдельно отметим, что здесь нельзя пользоваться формулой \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} в чистом виде: закон Гей-Люссака выведен для постоянного числа частиц, а у нас число частиц меняется — поэтому оно и стоит в формуле явным множителем.