МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026542

Картинка объясняет сюжет лучше слов: в кастрюле с водой висит стальной сосуд с воздухом, закрытый подвижным поршнем, и его удерживает от всплытия нить, привязанная ко дну. То есть сейчас «поплавок» перевешивает — архимедова сила больше веса. Кастрюлю ставят в холодильник, вода остывает, воздух внутри сжимается, поплавок «худеет» по объёму, и в какой-то момент подъёмной силы уже не хватит: нить обвиснет, и сосуд ляжет на дно. Нам нужна температура, при которой это произойдёт.

Шаг 1 — когда именно сосуд утонет. Пока сосуд висит, на него действуют вниз сила тяжести $mg$, вверх — архимедова сила $F_A$ и натяжение нити тоже вниз (нить тянет ко дну). Сосуд начнёт опускаться, как только нить перестанет быть нужна, то есть когда архимедова сила станет не больше веса: $$F_A\le mg.$$

Шаг 2 — что именно вытесняет воду. Объём вытесненной воды складывается из объёма стального «железа» (корпус плюс поршень) и объёма запертого воздуха. Объём стали найдём через плотность: $V_{\text{ст}}=\dfrac{m}{\rho}$. Массой воздуха условие разрешает пренебречь. По закону Архимеда $$F_A=\rho_{\text{в}}\,g\left(\frac{m}{\rho}+V_2\right),$$ где $\rho_{\text{в}}=1000$ кг/м³ — плотность воды, а $V_2$ — объём воздуха в момент, когда сосуд начнёт тонуть.

Шаг 3 — предельный объём воздуха. Подставляем в неравенство и сокращаем $g$: $$\rho_{\text{в}}\left(\frac{m}{\rho}+V_2\right)\le m\quad\Rightarrow\quad V_2\le\frac{m}{\rho_{\text{в}}}-\frac{m}{\rho}=m\left(\frac{1}{\rho_{\text{в}}}-\frac{1}{\rho}\right).$$ Считаем: $\dfrac{m}{\rho_{\text{в}}}=\dfrac{2{,}2}{1000}=2{,}2\cdot10^{-3}$ м³, а $\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{2{,}2}{7800}\approx0{,}282\cdot10^{-3}$ м³. Разность: $V_2\le2{,}2\cdot10^{-3}-0{,}282\cdot10^{-3}\approx1{,}918\cdot10^{-3}$ м³, то есть примерно $1{,}92$ дм³.

Шаг 4 — какой процесс идёт с воздухом. Поршень ходит без трения, значит он всё время находится в равновесии, и давление воздуха внутри равно давлению снаружи — атмосферному плюс давлению столба воды над поршнем. Пока сосуд висит на нити на одной и той же глубине, оба этих слагаемых не меняются, значит давление воздуха постоянно. Это изобарный процесс, и для него работает закон Гей-Люссака: $$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}.$$

Шаг 5 — переводим температуру в кельвины и считаем. Абсолютная температура: $T_1=18+273=291$ К. Начальный объём: $V_1=2$ дм³ $=2\cdot10^{-3}$ м³. Тогда $$T_2=T_1\cdot\frac{V_2}{V_1}=291\ \text{К}\cdot\frac{1{,}918\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-3}}=291\cdot0{,}959\approx279{,}1\ \text{К}.$$

Шаг 6 — обратно в градусы Цельсия: $t_2=279{,}1-273\approx6{,}1$ °С. Округляем: воду надо охладить ниже примерно $6$ °С.

Проверим себя. Объём воздуха должен уменьшиться всего на $4\%$ — значит и абсолютная температура должна упасть примерно на $4\%$, а это от $291$ К около $12$ К. И правда: $291-12=279$ К, то есть примерно $6$ °С вместо $18$ °С. Сходится.

Наконец, почему такая модель законна. Воздух в сосуде считаем идеальным газом постоянной массы (поршень герметичен, воздух не выходит), поэтому для него справедливо уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=\nu RT$; из него при постоянном давлении и получается использованный закон Гей-Люссака $\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$. Постоянство давления обеспечено вторым законом Ньютона для невесомого по сравнению с корпусом поршня, скользящего без трения: снаружи и изнутри на него давят одинаково. Для плавания используются закон Архимеда $F_A=\rho_{\text{в}}gV_{\text{выт}}$ и условие равновесия тела в жидкости; объём стали найден через определение плотности $\rho=\frac{m}{V}$. Массой воздуха в балансе сил пренебрегаем — это прямо разрешено условием. Считается также, что температура воздуха в сосуде успевает сравняться с температурой воды.