ID: 00026540
Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён на две части тяжёлым поршнем, способным скользить без трения. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по $ν=1$ моль газа, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда полностью откачали газ, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия. Найдите отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда после откачки газа. Температура газа T в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной.
Источник: ФИПИ
Представь себе закрытую вертикальную банку, поперёк которой лежит тяжёлая «шайба»-поршень: она ходит вверх-вниз без трения и герметично делит банку на верхний и нижний отсеки. В каждом отсеке сначала по $\nu=1$ моль газа, и верхний отсек вдвое больше нижнего. Потом газ из верхнего отсека полностью откачивают — сверху вакуум. Поршень поедет вверх, и надо найти, каким станет отношение объёмов. Температура всё время одна и та же, $T$.
Шаг 1 — что здесь неизменно. Сосуд закрыт и не растягивается, значит сумма объёмов отсеков постоянна. Обозначим её $V$: и до откачки, и после $V_{\text{в}}+V_{\text{н}}=V$. Это наш главный «якорь».
Шаг 2 — начальные объёмы. По условию $\dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=2$, то есть $V_{\text{в}}=2V_{\text{н}}$. Складываем: $2V_{\text{н}}+V_{\text{н}}=V$, значит $V_{\text{н}}=\dfrac{V}{3}$ и $V_{\text{в}}=\dfrac{2V}{3}$.
Шаг 3 — начальные давления. В каждом отсеке идеальный газ, по уравнению состояния $pV=\nu RT$: $$p_{\text{в}}=\frac{\nu RT}{V_{\text{в}}}=\frac{\nu RT}{2V/3}=\frac{3\nu RT}{2V},\qquad p_{\text{н}}=\frac{\nu RT}{V_{\text{н}}}=\frac{\nu RT}{V/3}=\frac{3\nu RT}{V}.$$
Шаг 4 — «взвесим» поршень. Поршень покоится, поэтому по второму закону Ньютона сумма сил на него равна нулю. На него действуют: сила тяжести $mg$ вниз, сила давления нижнего газа $p_{\text{н}}S$ вверх и сила давления верхнего газа $p_{\text{в}}S$ вниз ($S$ — площадь поршня, $m$ — его масса). Трения нет, значит: $p_{\text{н}}S=p_{\text{в}}S+mg$, откуда $$\frac{mg}{S}=p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\frac{3\nu RT}{V}-\frac{3\nu RT}{2V}=\frac{3\nu RT}{2V}.$$ Обрати внимание: величина $\dfrac{mg}{S}$ — это «личный вклад» поршня в давление, и он никуда не денется, поршень-то остался тем же самым. Именно ради него нам и понадобилось начальное состояние.
Шаг 5 — что стало после откачки. Сверху теперь вакуум, давить оттуда нечем: $p'_{\text{в}}=0$. Условие равновесия поршня превращается в $p'_{\text{н}}S=mg$, то есть $$p'_{\text{н}}=\frac{mg}{S}=\frac{3\nu RT}{2V}.$$
Шаг 6 — новый объём нижней части. Нижний газ никуда не делся: те же $\nu=1$ моль при той же температуре $T$. Значит $p'_{\text{н}}V'_{\text{н}}=\nu RT$, откуда $$V'_{\text{н}}=\frac{\nu RT}{p'_{\text{н}}}=\frac{\nu RT}{\dfrac{3\nu RT}{2V}}=\frac{2V}{3}.$$
Шаг 7 — новый объём верхней части и ответ. Сумма объёмов та же: $V'_{\text{в}}=V-V'_{\text{н}}=V-\dfrac{2V}{3}=\dfrac{V}{3}$. Отношение: $$\frac{V'_{\text{в}}}{V'_{\text{н}}}=\frac{V/3}{2V/3}=\frac{1}{2}=0{,}5.$$
Забавно и красиво: части просто поменялись местами — было $2:1$, стало $1:2$. Проверим на здравый смысл: убрали давление сверху, нижнему газу стало легче держать поршень, он расширился и поднял поршень вверх. Так и вышло: нижний отсек вырос с $V/3$ до $2V/3$.
Почему это решение законно. Газ по условию идеальный, его количество в нижней части постоянно, температура поддерживается одинаковой и постоянной — поэтому для нижнего газа работает уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) $pV=\nu RT$ в форме закона Бойля–Мариотта: произведение $pV$ до и после откачки одно и то же. Поршень движется без трения и в конце покоится, значит применим второй закон Ньютона для тела в равновесии: равнодействующая сил тяжести и сил давления газов равна нулю; силы давления считаем по определению давления $F=pS$. «Через длительный промежуток времени» в условии — как раз намёк, что поршень успел остановиться, а газ успел прийти к прежней температуре.