ID: 00026540
Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделён на две части тяжёлым поршнем, способным скользить без трения. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по ν=1 моль газа, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда полностью откачали газ, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия. Найдите отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда после откачки газа. Температура газа T в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной.
Источник: ФИПИ
Представь себе закрытую вертикальную банку, поперёк которой лежит тяжёлая «шайба»-поршень: она ходит вверх-вниз без трения и герметично делит банку на верхний и нижний отсеки. В каждом отсеке сначала по \nu=1 моль газа, и верхний отсек вдвое больше нижнего. Потом газ из верхнего отсека полностью откачивают — сверху вакуум. Поршень поедет вверх, и надо найти, каким станет отношение объёмов. Температура всё время одна и та же, T.
Шаг 1 — что здесь неизменно. Сосуд закрыт и не растягивается, значит сумма объёмов отсеков постоянна. Обозначим её V: и до откачки, и после V_{\text{в}}+V_{\text{н}}=V. Это наш главный «якорь».
Шаг 2 — начальные объёмы. По условию \dfrac{V_{\text{в}}}{V_{\text{н}}}=2, то есть V_{\text{в}}=2V_{\text{н}}. Складываем: 2V_{\text{н}}+V_{\text{н}}=V, значит V_{\text{н}}=\dfrac{V}{3} и V_{\text{в}}=\dfrac{2V}{3}.
Шаг 3 — начальные давления. В каждом отсеке идеальный газ, по уравнению состояния pV=\nu RT: p_{\text{в}}=\frac{\nu RT}{V_{\text{в}}}=\frac{\nu RT}{2V/3}=\frac{3\nu RT}{2V},\qquad p_{\text{н}}=\frac{\nu RT}{V_{\text{н}}}=\frac{\nu RT}{V/3}=\frac{3\nu RT}{V}.
Шаг 4 — «взвесим» поршень. Поршень покоится, поэтому по второму закону Ньютона сумма сил на него равна нулю. На него действуют: сила тяжести mg вниз, сила давления нижнего газа p_{\text{н}}S вверх и сила давления верхнего газа p_{\text{в}}S вниз (S — площадь поршня, m — его масса). Трения нет, значит: p_{\text{н}}S=p_{\text{в}}S+mg, откуда \frac{mg}{S}=p_{\text{н}}-p_{\text{в}}=\frac{3\nu RT}{V}-\frac{3\nu RT}{2V}=\frac{3\nu RT}{2V}. Обрати внимание: величина \dfrac{mg}{S} — это «личный вклад» поршня в давление, и он никуда не денется, поршень-то остался тем же самым. Именно ради него нам и понадобилось начальное состояние.
Шаг 5 — что стало после откачки. Сверху теперь вакуум, давить оттуда нечем: p'_{\text{в}}=0. Условие равновесия поршня превращается в p'_{\text{н}}S=mg, то есть p'_{\text{н}}=\frac{mg}{S}=\frac{3\nu RT}{2V}.
Шаг 6 — новый объём нижней части. Нижний газ никуда не делся: те же \nu=1 моль при той же температуре T. Значит p'_{\text{н}}V'_{\text{н}}=\nu RT, откуда V'_{\text{н}}=\frac{\nu RT}{p'_{\text{н}}}=\frac{\nu RT}{\dfrac{3\nu RT}{2V}}=\frac{2V}{3}.
Шаг 7 — новый объём верхней части и ответ. Сумма объёмов та же: V'_{\text{в}}=V-V'_{\text{н}}=V-\dfrac{2V}{3}=\dfrac{V}{3}. Отношение: \frac{V'_{\text{в}}}{V'_{\text{н}}}=\frac{V/3}{2V/3}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Забавно и красиво: части просто поменялись местами — было 2:1, стало 1:2. Проверим на здравый смысл: убрали давление сверху, нижнему газу стало легче держать поршень, он расширился и поднял поршень вверх. Так и вышло: нижний отсек вырос с V/3 до 2V/3.
Почему это решение законно. Газ по условию идеальный, его количество в нижней части постоянно, температура поддерживается одинаковой и постоянной — поэтому для нижнего газа работает уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) pV=\nu RT в форме закона Бойля–Мариотта: произведение pV до и после откачки одно и то же. Поршень движется без трения и в конце покоится, значит применим второй закон Ньютона для тела в равновесии: равнодействующая сил тяжести и сил давления газов равна нулю; силы давления считаем по определению давления F=pS. «Через длительный промежуток времени» в условии — как раз намёк, что поршень успел остановиться, а газ успел прийти к прежней температуре.