ID: 00026534
В открытой пробирке, вращающейся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 10 с^{–1} вокруг вертикальной оси, проходящей через край пробирки, находится столбик ртути длиной h = 1 см, центр которого отстоит от оси вращения на расстояние r = 20 см. До какой температуры $T_{2}$ надо нагреть пробирку, чтобы при увеличении угловой скорости в 4 раза столбик ртути не сместился? Начальная температура $t_{1} =0$ ^{о}С, а внешнее атмосферное давление $p_{0} =10^{5}$ Па.
Источник: ФИПИ
Посмотрим на рисунок и поймём устройство. Пробирка лежит горизонтально и вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через её открытый край. Дальний конец пробирки запаян, между ним и столбиком ртути заперт воздух. Получается, что ртутный столбик — это «поршень»: со стороны оси на него давит атмосфера, а с внешней стороны — запертый воздух.
Шаг 1 — почему давление газа больше атмосферного. Ртуть вращается по окружности радиуса $r=20$ см, значит она движется с центростремительным ускорением $a=\omega^2r$, направленным к оси. Такое ускорение должна создавать равнодействующая сил. Вдоль пробирки на столбик действуют две силы давления: газ толкает его к оси с силой $pS$, атмосфера — от оси с силой $p_0S$. По второму закону Ньютона $$pS-p_0S=m\omega^2r,$$ где $m$ — масса ртути. То есть газ обязан давить сильнее атмосферы — иначе ртуть просто улетела бы наружу.
Шаг 2 — выражаем массу ртути. Столбик — цилиндрик длиной $h$ и площадью сечения $S$, поэтому $m=\rho S h$, где $\rho=13\,600$ кг/м$^3$ — плотность ртути. Подставляем и сокращаем площадь (она в задаче не дана — и не нужна): $$p=p_0+\rho h\omega^2 r.$$ Красивая формула: давление газа зависит от длины столбика, но не от диаметра трубки.
Шаг 3 — считаем оба давления. При $\omega_1=10$ с$^{-1}$ (то есть $\omega_1^2=100$ с$^{-2}$): $$p_1=10^5+13\,600\cdot 0{,}01\cdot 100\cdot 0{,}2=10^5+2720=102\,720\ \text{Па}.$$ Угловую скорость увеличивают вчетверо, $\omega_2=4\omega_1$, значит $\omega_2^2=16\omega_1^2=1600$ с$^{-2}$: $$p_2=10^5+13\,600\cdot 0{,}01\cdot 1600\cdot 0{,}2=10^5+43\,520=143\,520\ \text{Па}.$$ Обрати внимание: квадрат угловой скорости вырос в $16$ раз, поэтому и «центробежная добавка» выросла в $16$ раз, с $2{,}7$ кПа до $43{,}5$ кПа.
Шаг 4 — при чём тут нагрев. Если ничего не менять, при таком росте требуемого давления столбик поехал бы к запаянному концу, сжимая воздух. Чтобы он остался на месте, объём запертого воздуха должен сохраниться, а давление вырасти само — а это возможно только за счёт нагрева. Раз объём постоянен, применим закон Шарля: $$\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}\quad\Rightarrow\quad T_2=T_1\dfrac{p_2}{p_1}.$$
Шаг 5 — считаем температуру. Начальная температура $t_1=0$ °C, то есть $T_1=273$ К: $$T_2=273\cdot\dfrac{143\,520}{102\,720}\approx 273\cdot 1{,}397\approx 381\ \text{К}.$$ Это примерно $108$ °C — пробирку надо нагреть чуть выше температуры кипения воды.
Почему такая модель. Ртутный столбик рассматриваем как материальную точку (его длина $1$ см мала по сравнению с расстоянием до оси $20$ см, поэтому вся ртуть движется по окружности практически одного радиуса $r$) и работаем в лабораторной, инерциальной системе отсчёта: никаких центробежных сил, только реальные силы давления, а их равнодействующая по второму закону Ньютона равна $m\omega^2r$. Тяжесть и реакция стенок трубки перпендикулярны этому направлению и в уравнение не входят. Запертый воздух считаем идеальным газом; его объём не меняется, поэтому связь давления и температуры даёт изохорный закон Шарля. Температуру обязательно берём абсолютную — только для неё этот закон записывается в виде простой пропорции.