ID: 00026529
В цилиндр объёмом 0,5 м³ закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем длиной 0,5 м, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Определите момент времени, когда клапан откроется, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 см², расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Стержень и клапан считать невесомыми.
Источник: ФИПИ
Разберём конструкцию по рисунку. Слева в точке A стержень закреплён на шарнире и может вокруг него поворачиваться. Недалеко от шарнира, на расстоянии $AB=0{,}1$ м, стержень через стойку прижимает сверху предохранительный клапан, закрывающий отверстие площадью $S=5$ см$^2$. На дальнем конце стержня, на расстоянии $L=0{,}5$ м от шарнира, висит груз массой $M=2$ кг. Пока воздух в цилиндре накачивают, давление растёт, и в какой-то момент газ вытолкнет клапан — вот этот момент времени и нужно найти.
Шаг 1 — когда клапан откроется. Стержень — рычаг, поэтому пишем условие равновесия твёрдого тела: сумма моментов сил относительно оси A равна нулю. Груз тянет конец стержня вниз с моментом $Mg\cdot L$, а газ снизу давит на клапан и через стойку толкает стержень вверх с моментом $F\cdot AB$. Клапан приоткроется, когда моменты сравняются: $$F\cdot AB=MgL.$$
Шаг 2 — какая это сила. На клапан снизу давит газ с давлением $p$, сверху — атмосфера с давлением $p_0$. Поэтому выталкивающая клапан сила определяется разностью давлений: $F=(p-p_0)S$. Подставляем: $$(p-p_0)S\cdot AB=MgL\quad\Rightarrow\quad \Delta p=p-p_0=\dfrac{MgL}{S\cdot AB}.$$ Считаем, не забыв перевести площадь в метры: $S=5\ \text{см}^2=5\cdot 10^{-4}$ м$^2$. $$\Delta p=\dfrac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{5\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}1}=\dfrac{10}{5\cdot 10^{-5}}=2\cdot 10^{5}\ \text{Па}.$$ Рычаг работает на нас: короткое плечо у клапана и длинное у груза дают выигрыш в силе в пять раз, поэтому и давление нужно приличное — вдвое больше атмосферного.
Шаг 3 — сколько воздуха для этого надо закачать. Объём цилиндра постоянен ($V=0{,}5$ м$^3$), температура тоже постоянна ($T=300$ К), а меняется только количество вещества. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний: $p_0V=\dfrac{m_0}{\mu}RT$ и $pV=\dfrac{m_0+\Delta m}{\mu}RT$. Вычитая одно из другого, получаем удобное соотношение только для добавки: $$\Delta p\,V=\dfrac{\Delta m}{\mu}RT\quad\Rightarrow\quad \Delta m=\dfrac{\Delta p\,V\mu}{RT}.$$
Шаг 4 — считаем массу. Молярная масса воздуха $\mu=0{,}029$ кг/моль: $$\Delta m=\dfrac{2\cdot 10^{5}\cdot 0{,}5\cdot 0{,}029}{8{,}31\cdot 300}=\dfrac{2900}{2493}\approx 1{,}16\ \text{кг}.$$
Шаг 5 — время. Воздух закачивают равномерно, по $\alpha=0{,}002$ кг каждую секунду, поэтому $$t=\dfrac{\Delta m}{\alpha}=\dfrac{1{,}16}{0{,}002}\approx 5{,}8\cdot 10^{2}\ \text{с}.$$ Это около десяти минут — вполне разумно для компрессора, накачивающего полкубометра.
Почему такая модель. Стержень с клапаном — твёрдое тело в равновесии, и здесь работает правило моментов (второе условие равновесия): произведение силы на плечо с одной стороны от оси равно такому же произведению с другой. Стержень и клапан невесомы, поэтому их собственный вес в моменты не входит. Сила на клапан считается через разность давлений, а не через полное давление газа, потому что снаружи на клапан давит атмосфера. Воздух считаем идеальным газом при постоянных объёме и температуре, так что давление растёт строго пропорционально массе газа, — именно поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона можно записать «в приращениях» и не искать начальную массу воздуха в цилиндре.