ID: 00026529
В цилиндр объёмом 0,5 м³ закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем длиной 0,5 м, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Определите момент времени, когда клапан откроется, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 см², расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Стержень и клапан считать невесомыми.
Источник: ФИПИ
Разберём конструкцию по рисунку. Слева в точке A стержень закреплён на шарнире и может вокруг него поворачиваться. Недалеко от шарнира, на расстоянии AB=0{,}1 м, стержень через стойку прижимает сверху предохранительный клапан, закрывающий отверстие площадью S=5 см^2. На дальнем конце стержня, на расстоянии L=0{,}5 м от шарнира, висит груз массой M=2 кг. Пока воздух в цилиндре накачивают, давление растёт, и в какой-то момент газ вытолкнет клапан — вот этот момент времени и нужно найти.
Шаг 1 — когда клапан откроется. Стержень — рычаг, поэтому пишем условие равновесия твёрдого тела: сумма моментов сил относительно оси A равна нулю. Груз тянет конец стержня вниз с моментом Mg\cdot L, а газ снизу давит на клапан и через стойку толкает стержень вверх с моментом F\cdot AB. Клапан приоткроется, когда моменты сравняются: F\cdot AB=MgL.
Шаг 2 — какая это сила. На клапан снизу давит газ с давлением p, сверху — атмосфера с давлением p_0. Поэтому выталкивающая клапан сила определяется разностью давлений: F=(p-p_0)S. Подставляем: (p-p_0)S\cdot AB=MgL\quad\Rightarrow\quad \Delta p=p-p_0=\dfrac{MgL}{S\cdot AB}. Считаем, не забыв перевести площадь в метры: S=5\ \text{см}^2=5\cdot 10^{-4} м^2. \Delta p=\dfrac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{5\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}1}=\dfrac{10}{5\cdot 10^{-5}}=2\cdot 10^{5}\ \text{Па}. Рычаг работает на нас: короткое плечо у клапана и длинное у груза дают выигрыш в силе в пять раз, поэтому и давление нужно приличное — вдвое больше атмосферного.
Шаг 3 — сколько воздуха для этого надо закачать. Объём цилиндра постоянен (V=0{,}5 м^3), температура тоже постоянна (T=300 К), а меняется только количество вещества. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для начального и конечного состояний: p_0V=\dfrac{m_0}{\mu}RT и pV=\dfrac{m_0+\Delta m}{\mu}RT. Вычитая одно из другого, получаем удобное соотношение только для добавки: \Delta p\,V=\dfrac{\Delta m}{\mu}RT\quad\Rightarrow\quad \Delta m=\dfrac{\Delta p\,V\mu}{RT}.
Шаг 4 — считаем массу. Молярная масса воздуха \mu=0{,}029 кг/моль: \Delta m=\dfrac{2\cdot 10^{5}\cdot 0{,}5\cdot 0{,}029}{8{,}31\cdot 300}=\dfrac{2900}{2493}\approx 1{,}16\ \text{кг}.
Шаг 5 — время. Воздух закачивают равномерно, по \alpha=0{,}002 кг каждую секунду, поэтому t=\dfrac{\Delta m}{\alpha}=\dfrac{1{,}16}{0{,}002}\approx 5{,}8\cdot 10^{2}\ \text{с}. Это около десяти минут — вполне разумно для компрессора, накачивающего полкубометра.
Почему такая модель. Стержень с клапаном — твёрдое тело в равновесии, и здесь работает правило моментов (второе условие равновесия): произведение силы на плечо с одной стороны от оси равно такому же произведению с другой. Стержень и клапан невесомы, поэтому их собственный вес в моменты не входит. Сила на клапан считается через разность давлений, а не через полное давление газа, потому что снаружи на клапан давит атмосфера. Воздух считаем идеальным газом при постоянных объёме и температуре, так что давление растёт строго пропорционально массе газа, — именно поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона можно записать «в приращениях» и не искать начальную массу воздуха в цилиндре.