ID: 00026537
В стакан с водой, нагретой до температуры t_{1}=50 ° C , положили металлический шарик, имеющий температуру t_{2}=10 ° C . После установления теплового равновесия температура воды стала равной t _{3}. Затем, не вынимая первого шарика, в стакан положили ещё один такой же шарик температурой t _{2}. Конечная температура в стакане оказалась t_{4}=34 ° C . Определите температуру воды t _{3} после того, как в стакан положили первый шарик. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Источник: ФИПИ
Восстановим ход событий. В стакане вода при t_1=50 °C. Кидаем холодный шарик (t_2=10 °C) — устанавливается общая температура t_3, её-то и надо найти. Затем, не вынимая первый шарик, кладём второй такой же холодный шарик, и в итоге всё приходит к t_4=34 °C. Особенность задачи в том, что искомая температура t_3 входит сразу в оба этапа: она и конец первого опыта, и старт второго. Значит, мы получим одно уравнение с одной неизвестной.
Шаг 1 — вводим удобные величины. Массы и удельные теплоёмкости не даны, поэтому работаем с полными теплоёмкостями: C_{в} — у воды, C_{ш} — у одного шарика. Полная теплоёмкость показывает, сколько энергии нужно телу на нагрев ровно на один кельвин, и в уравнении баланса всегда встречается только произведение C\Delta t.
Шаг 2 — первый опыт. Теплообмена с окружающей средой нет, значит отданная вода теплота равна полученной шариком: C_{в}(t_1-t_3)=C_{ш}(t_3-t_2)\quad\Rightarrow\quad C_{в}(50-t_3)=C_{ш}(t_3-10). Отсюда удобно выразить отношение теплоёмкостей: \dfrac{C_{в}}{C_{ш}}=\dfrac{t_3-10}{50-t_3}.
Шаг 3 — второй опыт. К этому моменту вода и первый шарик уже имеют одну и ту же температуру t_3 — они остывают вместе, как одно тело с теплоёмкостью C_{в}+C_{ш}. Второй шарик нагревается от 10 °C: (C_{в}+C_{ш})(t_3-t_4)=C_{ш}(t_4-t_2)\quad\Rightarrow\quad (C_{в}+C_{ш})(t_3-34)=C_{ш}\cdot 24.
Шаг 4 — соединяем уравнения. Поделим второе уравнение на C_{ш}: \left(\dfrac{C_{в}}{C_{ш}}+1\right)(t_3-34)=24. Подставим отношение из шага 2 и приведём скобку к общему знаменателю: \dfrac{C_{в}}{C_{ш}}+1=\dfrac{t_3-10}{50-t_3}+1=\dfrac{(t_3-10)+(50-t_3)}{50-t_3}=\dfrac{40}{50-t_3}. Смотри, как повезло: неизвестная t_3 в числителе сократилась сама собой, осталось просто 40 — это разность t_1-t_2.
Шаг 5 — решаем уравнение. \dfrac{40\,(t_3-34)}{50-t_3}=24\quad\Rightarrow\quad 40t_3-1360=1200-24t_3\quad\Rightarrow\quad 64t_3=2560, откуда t_3=40\ °\text{C}.
Проверим ответ обратным ходом. Если t_3=40 °C, то из первого опыта C_{в}(50-40)=C_{ш}(40-10), то есть C_{в}=3C_{ш}. Тогда во втором опыте: (3C_{ш}+C_{ш})(40-t_4)=C_{ш}(t_4-10), значит 4(40-t_4)=t_4-10, откуда t_4=34 °C — ровно то, что дано в условии. Сходится.
Почему такая модель. Стакан теплоизолирован (теплообменом с окружающей средой пренебрегаем), поэтому работает закон сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса: сколько теплоты отдали остывающие тела, столько получили нагревающиеся. Количество теплоты при нагревании или охлаждении без изменения агрегатного состояния равно Q=cm\Delta t, а так как в задаче нужны лишь отношения, массы и удельные теплоёмкости свёрнуты в полные теплоёмкости C=cm и в итоге сокращаются. Понятие теплового равновесия означает, что к концу первого опыта вода и первый шарик имеют одинаковую температуру, — именно поэтому во втором опыте они выступают единым остывающим телом.