ID: 00026537
В стакан с водой, нагретой до температуры $t_{1}=50$ ° C , положили металлический шарик, имеющий температуру $t_{2}=10$ ° C . После установления теплового равновесия температура воды стала равной $t_{3}$. Затем, не вынимая первого шарика, в стакан положили ещё один такой же шарик температурой $t_{2}$. Конечная температура в стакане оказалась $t_{4}=34$ ° C . Определите температуру воды $t_{3}$ после того, как в стакан положили первый шарик. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Источник: ФИПИ
Восстановим ход событий. В стакане вода при $t_1=50$ °C. Кидаем холодный шарик ($t_2=10$ °C) — устанавливается общая температура $t_3$, её-то и надо найти. Затем, не вынимая первый шарик, кладём второй такой же холодный шарик, и в итоге всё приходит к $t_4=34$ °C. Особенность задачи в том, что искомая температура $t_3$ входит сразу в оба этапа: она и конец первого опыта, и старт второго. Значит, мы получим одно уравнение с одной неизвестной.
Шаг 1 — вводим удобные величины. Массы и удельные теплоёмкости не даны, поэтому работаем с полными теплоёмкостями: $C_{в}$ — у воды, $C_{ш}$ — у одного шарика. Полная теплоёмкость показывает, сколько энергии нужно телу на нагрев ровно на один кельвин, и в уравнении баланса всегда встречается только произведение $C\Delta t$.
Шаг 2 — первый опыт. Теплообмена с окружающей средой нет, значит отданная вода теплота равна полученной шариком: $$C_{в}(t_1-t_3)=C_{ш}(t_3-t_2)\quad\Rightarrow\quad C_{в}(50-t_3)=C_{ш}(t_3-10).$$ Отсюда удобно выразить отношение теплоёмкостей: $$\dfrac{C_{в}}{C_{ш}}=\dfrac{t_3-10}{50-t_3}.$$
Шаг 3 — второй опыт. К этому моменту вода и первый шарик уже имеют одну и ту же температуру $t_3$ — они остывают вместе, как одно тело с теплоёмкостью $C_{в}+C_{ш}$. Второй шарик нагревается от $10$ °C: $$(C_{в}+C_{ш})(t_3-t_4)=C_{ш}(t_4-t_2)\quad\Rightarrow\quad (C_{в}+C_{ш})(t_3-34)=C_{ш}\cdot 24.$$
Шаг 4 — соединяем уравнения. Поделим второе уравнение на $C_{ш}$: $$\left(\dfrac{C_{в}}{C_{ш}}+1\right)(t_3-34)=24.$$ Подставим отношение из шага 2 и приведём скобку к общему знаменателю: $$\dfrac{C_{в}}{C_{ш}}+1=\dfrac{t_3-10}{50-t_3}+1=\dfrac{(t_3-10)+(50-t_3)}{50-t_3}=\dfrac{40}{50-t_3}.$$ Смотри, как повезло: неизвестная $t_3$ в числителе сократилась сама собой, осталось просто $40$ — это разность $t_1-t_2$.
Шаг 5 — решаем уравнение. $$\dfrac{40\,(t_3-34)}{50-t_3}=24\quad\Rightarrow\quad 40t_3-1360=1200-24t_3\quad\Rightarrow\quad 64t_3=2560,$$ откуда $$t_3=40\ °\text{C}.$$
Проверим ответ обратным ходом. Если $t_3=40$ °C, то из первого опыта $C_{в}(50-40)=C_{ш}(40-10)$, то есть $C_{в}=3C_{ш}$. Тогда во втором опыте: $(3C_{ш}+C_{ш})(40-t_4)=C_{ш}(t_4-10)$, значит $4(40-t_4)=t_4-10$, откуда $t_4=34$ °C — ровно то, что дано в условии. Сходится.
Почему такая модель. Стакан теплоизолирован (теплообменом с окружающей средой пренебрегаем), поэтому работает закон сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса: сколько теплоты отдали остывающие тела, столько получили нагревающиеся. Количество теплоты при нагревании или охлаждении без изменения агрегатного состояния равно $Q=cm\Delta t$, а так как в задаче нужны лишь отношения, массы и удельные теплоёмкости свёрнуты в полные теплоёмкости $C=cm$ и в итоге сокращаются. Понятие теплового равновесия означает, что к концу первого опыта вода и первый шарик имеют одинаковую температуру, — именно поэтому во втором опыте они выступают единым остывающим телом.