ID: 00026532
В стакан с водой, нагретой до температуры $t_{1} =50$ ° C , положили металлический шарик, имеющий температуру $t_{2} =10$ ° C . После установления теплового равновесия температура воды стала $t_{3} =40$ ° C . Определите температуру воды $t_{4}$ после того, как в стакан положили ещё один такой же шарик температурой $t_{2}$ (первый шарик остался в стакане). Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сюжет простой, но с подвохом. В стакан с горячей водой ($50$ °C) кидают холодный шарик ($10$ °C) — вода остывает до $40$ °C. Затем, не вынимая первый шарик, кладут второй такой же холодный шарик. Вопрос: до какой температуры остынет содержимое теперь? Подвох в том, что во второй раз остывает уже не только вода, а вода вместе с первым шариком — они к этому моменту стали одним «тёплым телом» с температурой $40$ °C.
Шаг 1 — что известно про теплоёмкости. Ни массы, ни удельные теплоёмкости в условии не даны — значит, они и не нужны, надо работать с полными теплоёмкостями. Обозначим $C_{в}=c_{в}m_{в}$ — полную теплоёмкость воды (сколько джоулей нужно, чтобы нагреть всю воду на один кельвин), и $C_{ш}=c_{ш}m_{ш}$ — полную теплоёмкость одного шарика.
Шаг 2 — первый опыт. Теплообмен с окружающей средой не учитываем, значит сколько теплоты отдала вода, столько получил шарик (уравнение теплового баланса): $$C_{в}(t_1-t_3)=C_{ш}(t_3-t_2).$$ Подставляем числа: $C_{в}(50-40)=C_{ш}(40-10)$, то есть $10\,C_{в}=30\,C_{ш}$, откуда $$C_{в}=3\,C_{ш}.$$ Вот и вся информация, которую можно вытащить из первого опыта: вода «весомее» шарика втрое по теплоёмкости.
Шаг 3 — второй опыт. Теперь остывает система «вода + первый шарик», у неё температура $40$ °C, а полная теплоёмкость равна сумме: $C_{в}+C_{ш}=3C_{ш}+C_{ш}=4\,C_{ш}$. Нагревается второй шарик от $10$ °C. Уравнение теплового баланса: $$(C_{в}+C_{ш})(t_3-t_4)=C_{ш}(t_4-t_2).$$
Шаг 4 — считаем. Подставляем $C_{в}+C_{ш}=4C_{ш}$ и сокращаем на $C_{ш}$ — вот почему нам не понадобились ни массы, ни материал шарика: $$4(40-t_4)=t_4-10.$$ Раскрываем: $160-4t_4=t_4-10$, значит $170=5t_4$ и $$t_4=34\ °\text{C}.$$
Проверим себя. Первый шарик охладил воду на $10$ градусов, второй — только на $6$. Так и должно быть: во второй раз холодному шарику противостоит не просто вода, а вода вместе с уже прогретым первым шариком, то есть более «тяжёлая» по теплоёмкости система. Если бы кто-то по невнимательности снова взял только воду, он получил бы $t_4=32{,}5$ °C — типичная ошибка в этой задаче.
Почему такая модель. Работает закон сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса: в теплоизолированной системе сумма всех количеств теплоты равна нулю, то есть отданное горячими телами равно полученному холодными. Количество теплоты при нагревании или охлаждении без смены агрегатного состояния равно $Q=cm\Delta T$; поскольку в задаче нужны только отношения, массы и удельные теплоёмкости удобно свернуть в полные теплоёмкости $C=cm$. Тепловое равновесие означает, что в конце все тела имеют одну и ту же температуру, — именно поэтому первый шарик во втором опыте выступает заодно с водой.