ID: 00026522
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L , а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p _{0} (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты Q , и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b . Чему равна жёсткость пружины k ?
Источник: ФИПИ
Разберёмся с устройством. Цилиндр лежит горизонтально, слева у дна заперт одноатомный газ, справа на поршень давит атмосфера с давлением p_0. Внутри газовой части стоит пружина, соединяющая дно с поршнем. Изначально расстояние от дна до поршня равно L, а давление газа равно атмосферному. Газу подводят теплоту Q, и поршень медленно уезжает вправо на b. Найти надо жёсткость пружины.
Шаг 1 — что означает «в начале давление газа равно p_0». Поршень покоится, значит сумма сил на него равна нулю: слева газ давит с силой pS, справа атмосфера с силой p_0S, плюс сила пружины. Раз p=p_0, силы газа и атмосферы уже уравновесили друг друга, а значит сила пружины равна нулю — пружина в начале не деформирована. Это важнейший вывод: отсчёт деформации пойдёт прямо от начального положения.
Шаг 2 — давление в конце. Поршень сместился на b, пружина растянулась на b и по закону Гука тянет поршень назад с силой kb. Новое условие равновесия поршня: pS=p_0S+kb\quad\Rightarrow\quad p=p_0+\dfrac{kb}{S}. Поскольку поршень движется медленно, его можно в любой момент считать находящимся в равновесии, и давление газа растёт с деформацией линейно: p(x)=p_0+\dfrac{kx}{S}.
Шаг 3 — работа газа. Работа равна площади под графиком p(V); здесь давление растёт линейно от p_0 до p_0+\dfrac{kb}{S}, а объём — от SL до S(L+b). Проще посчитать «по назначению»: часть работы газ тратит на выталкивание атмосферы, часть — на растяжение пружины: A=p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}. Первое слагаемое — работа против постоянного атмосферного давления, второе — потенциальная энергия, запасённая в пружине.
Шаг 4 — изменение внутренней энергии. Для идеального одноатомного газа U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV, поэтому считать температуру не нужно: \Delta U=\dfrac{3}{2}\left(p_2V_2-p_1V_1\right)=\dfrac{3}{2}\left[\left(p_0+\dfrac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0SL\right]=\dfrac{3}{2}\left[p_0Sb+kb(L+b)\right].
Шаг 5 — первый закон термодинамики. Подведённая теплота идёт и на нагрев газа, и на работу: Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+\dfrac{3}{2}kb^2+p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}. Приводим подобные: слагаемых с p_0Sb получается \dfrac{5}{2}, а с kb — \dfrac{3}{2}L+2b: Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb+kb\left(\dfrac{3L}{2}+2b\right).
Шаг 6 — выражаем жёсткость. Умножим всё на 2 и перенесём: 2Q=5p_0Sb+kb(3L+4b), откуда k=\dfrac{2Q-5p_0Sb}{b\,(3L+4b)}. Формула сама себя проверяет: чем больше теплоты подвели при том же смещении, тем жёстче должна быть пружина (её ведь пришлось растянуть на те же b с большим усилием). А если 2Q окажется меньше 5p_0Sb, ответ получится отрицательным — значит, такой теплоты не хватило бы даже на выталкивание поршня против атмосферы, и условие было бы противоречивым.
Почему такая модель. Поршень движется медленно, поэтому в каждый момент он в равновесии, и второй закон Ньютона превращается в баланс сил — отсюда связь давления газа с деформацией пружины; масса поршня не важна, так как цилиндр горизонтален и сила тяжести перпендикулярна движению, а стенки гладкие, значит трения нет. Сила пружины подчиняется закону Гука F=kx, а запасённая в ней энергия равна \dfrac{kx^2}{2}. Газ идеальный одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна \dfrac{3}{2}pV — это позволяет обойтись без количества вещества и температуры. Наконец, всё связывает первый закон термодинамики Q=\Delta U+A: теплота распределяется между нагревом газа, выталкиванием атмосферы и накачкой энергии в пружину.