ID: 00026522
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L , а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_{0}$ (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты Q , и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b . Чему равна жёсткость пружины k ?
Источник: ФИПИ
Разберёмся с устройством. Цилиндр лежит горизонтально, слева у дна заперт одноатомный газ, справа на поршень давит атмосфера с давлением $p_0$. Внутри газовой части стоит пружина, соединяющая дно с поршнем. Изначально расстояние от дна до поршня равно $L$, а давление газа равно атмосферному. Газу подводят теплоту $Q$, и поршень медленно уезжает вправо на $b$. Найти надо жёсткость пружины.
Шаг 1 — что означает «в начале давление газа равно $p_0$». Поршень покоится, значит сумма сил на него равна нулю: слева газ давит с силой $pS$, справа атмосфера с силой $p_0S$, плюс сила пружины. Раз $p=p_0$, силы газа и атмосферы уже уравновесили друг друга, а значит сила пружины равна нулю — пружина в начале не деформирована. Это важнейший вывод: отсчёт деформации пойдёт прямо от начального положения.
Шаг 2 — давление в конце. Поршень сместился на $b$, пружина растянулась на $b$ и по закону Гука тянет поршень назад с силой $kb$. Новое условие равновесия поршня: $$pS=p_0S+kb\quad\Rightarrow\quad p=p_0+\dfrac{kb}{S}.$$ Поскольку поршень движется медленно, его можно в любой момент считать находящимся в равновесии, и давление газа растёт с деформацией линейно: $p(x)=p_0+\dfrac{kx}{S}$.
Шаг 3 — работа газа. Работа равна площади под графиком $p(V)$; здесь давление растёт линейно от $p_0$ до $p_0+\dfrac{kb}{S}$, а объём — от $SL$ до $S(L+b)$. Проще посчитать «по назначению»: часть работы газ тратит на выталкивание атмосферы, часть — на растяжение пружины: $$A=p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}.$$ Первое слагаемое — работа против постоянного атмосферного давления, второе — потенциальная энергия, запасённая в пружине.
Шаг 4 — изменение внутренней энергии. Для идеального одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, поэтому считать температуру не нужно: $$\Delta U=\dfrac{3}{2}\left(p_2V_2-p_1V_1\right)=\dfrac{3}{2}\left[\left(p_0+\dfrac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0SL\right]=\dfrac{3}{2}\left[p_0Sb+kb(L+b)\right].$$
Шаг 5 — первый закон термодинамики. Подведённая теплота идёт и на нагрев газа, и на работу: $$Q=\Delta U+A=\dfrac{3}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+\dfrac{3}{2}kb^2+p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}.$$ Приводим подобные: слагаемых с $p_0Sb$ получается $\dfrac{5}{2}$, а с $kb$ — $\dfrac{3}{2}L+2b$: $$Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb+kb\left(\dfrac{3L}{2}+2b\right).$$
Шаг 6 — выражаем жёсткость. Умножим всё на $2$ и перенесём: $2Q=5p_0Sb+kb(3L+4b)$, откуда $$k=\dfrac{2Q-5p_0Sb}{b\,(3L+4b)}.$$ Формула сама себя проверяет: чем больше теплоты подвели при том же смещении, тем жёстче должна быть пружина (её ведь пришлось растянуть на те же $b$ с большим усилием). А если $2Q$ окажется меньше $5p_0Sb$, ответ получится отрицательным — значит, такой теплоты не хватило бы даже на выталкивание поршня против атмосферы, и условие было бы противоречивым.
Почему такая модель. Поршень движется медленно, поэтому в каждый момент он в равновесии, и второй закон Ньютона превращается в баланс сил — отсюда связь давления газа с деформацией пружины; масса поршня не важна, так как цилиндр горизонтален и сила тяжести перпендикулярна движению, а стенки гладкие, значит трения нет. Сила пружины подчиняется закону Гука $F=kx$, а запасённая в ней энергия равна $\dfrac{kx^2}{2}$. Газ идеальный одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна $\dfrac{3}{2}pV$ — это позволяет обойтись без количества вещества и температуры. Наконец, всё связывает первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$: теплота распределяется между нагревом газа, выталкиванием атмосферы и накачкой энергии в пружину.