ID: 00026519
Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1–2–3, график которого показан на рисунке в координатах T - V . Известно, что в процессе 1–2 газ совершил работу 2,5 кДж, а в процессе 2–3 объём газа V увеличился в 3 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу в процессе 1–2–3, если его температура T в состоянии 1 равна 300 К?
Источник: ФИПИ
Сначала разберём график. Оси — температура и объём. Участок 1–2 нарисован горизонтальным отрезком: температура не меняется, а объём растёт — это изотермическое расширение. Участок 2–3 лежит на прямой, продолжение которой (пунктир на рисунке) упирается в начало координат, то есть на нём $\dfrac{T}{V}=\text{const}$. По уравнению Менделеева — Клапейрона это означает постоянное давление: 2–3 — изобарное расширение с нагревом.
Шаг 1 — теплота на изотерме 1–2. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, а на изотерме температура не меняется, значит $\Delta U_{12}=0$. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ даёт $$Q_{12}=A_{12}=2{,}5\ \text{кДж}.$$ Вся подведённая теплота ушла в работу — газ ни капли не «запас» в себе.
Шаг 2 — температуры в точках 2 и 3. Раз 1–2 изотерма, то $T_2=T_1=300$ К. На изобаре 2–3 объём и температура пропорциональны (закон Гей-Люссака $\dfrac{V}{T}=\text{const}$), а объём вырос втрое, значит и температура вырастет втрое: $$T_3=3T_2=900\ \text{К}.$$
Шаг 3 — теплота на изобаре 2–3. Здесь газ и нагревается, и расширяется. Работа: $A_{23}=p\Delta V=\nu R\Delta T$. Изменение внутренней энергии одноатомного газа: $\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. По первому закону: $$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\dfrac{5}{2}\nu R\Delta T.$$ Подставляем $\nu=1$ моль, $R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К), $\Delta T=900-300=600$ К: $$Q_{23}=2{,}5\cdot 8{,}31\cdot 600=12\,465\ \text{Дж}\approx 12{,}5\ \text{кДж}.$$
Шаг 4 — складываем. Теплота — величина аддитивная по этапам: $$Q=Q_{12}+Q_{23}=2{,}5+12{,}5\approx 15\ \text{кДж}.$$
Полезно заметить, где спрятана «изюминка». На изотерме теплота равна работе, поэтому знать объёмы $V_1$ и $V_2$ нам не потребовалось — работу дали готовой. А на изобаре, наоборот, работа считается элементарно через температуры, и снова ни объёмы, ни давление по отдельности не нужны: всё выражается через $\nu R\Delta T$. Именно поэтому в условии нет ни одного значения давления или объёма — и это не упущение составителя.
Почему такая модель. Газ идеальный и одноатомный: первое даёт уравнение состояния $pV=\nu RT$ (через него мы и опознали изобару по прямой, идущей в начало координат) и позволяет писать $A=p\Delta V=\nu R\Delta T$ на изобаре; второе задаёт внутреннюю энергию $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, где коэффициент $\dfrac{3}{2}$ верен именно для одноатомного газа. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ применяем к каждому участку отдельно, а затем складываем: он выполняется для любого процесса, и это позволяет разбирать ломаную по кускам.