ID: 00026515
Монохроматическое рентгеновское излучение с длиной волны $\lambda=1{,}1\cdot10^{-10}$ м падает по нормали на пластинку и создаёт давление $P=1{,}26\cdot10^{-6}$ Па. При этом $70\,\%$ фотонов отражается, а остальные проходят сквозь пластинку. Определите концентрацию фотонов в пучке падающего излучения. Рассеянием и поглощением излучения пренебречь. Считать, что фотоны в пучке распределены равномерно.
Источник: ФИПИ
Свет давит на препятствие, потому что каждый фотон несёт импульс и, ударяясь о пластинку, этот импульс ей передаёт. Разберёмся честно, кто сколько передаёт: отражённый фотон разворачивается и отдаёт вдвое больше, чем просто «остановившийся», а фотон, который пролетел пластинку насквозь и не изменил направления, не отдаёт вообще ничего. Именно эта деталь и отличает задачу от стандартной.
Шаг 1 — импульс одного фотона. У фотона с длиной волны $\lambda$ импульс равен
$$p_{\text{ф}} = \frac{h}{\lambda}.$$
Шаг 2 — сколько фотонов прилетает. Пусть концентрация фотонов в пучке равна $n$ (столько их в кубическом метре). Фотоны летят со скоростью света $c$, поэтому за время $t$ на площадку $S$ успевают прилететь все фотоны из «столбика» длиной $ct$:
$$N = n\,S\,c\,t.$$
Шаг 3 — сколько импульса передано. Из этих $N$ фотонов доля $\rho = 0{,}7$ отражается: каждый такой фотон меняет импульс с $+p_{\text{ф}}$ на $-p_{\text{ф}}$, то есть отдаёт пластинке $2p_{\text{ф}}$. Остальные $30\,\%$ проходят насквозь, направления не меняют и не отдают ничего. Суммарно
$$\Delta p = N\rho\cdot 2p_{\text{ф}} = 2\rho\, n\,S\,c\,t\cdot\frac{h}{\lambda}.$$
Шаг 4 — от импульса к давлению. По второму закону Ньютона в импульсной форме сила равна переданному импульсу, делённому на время, а давление — сила на единицу площади:
$$P = \frac{F}{S} = \frac{\Delta p}{S t} = \frac{2\rho\, n\, c\, h}{\lambda}.$$
Шаг 5 — выражаем концентрацию и подставляем числа:
$$n = \frac{P\lambda}{2\rho\, h\, c} = \frac{1{,}26\cdot10^{-6}\cdot 1{,}1\cdot10^{-10}}{2\cdot0{,}7\cdot 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}.$$
Числитель: $1{,}26\cdot1{,}1 = 1{,}386$, то есть $1{,}386\cdot10^{-16}$. Знаменатель: $2\cdot0{,}7 = 1{,}4$, а $6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8} = 1{,}989\cdot10^{-25}$, значит $1{,}4\cdot1{,}989\cdot10^{-25} = 2{,}78\cdot10^{-25}$. Делим:
$$n = \frac{1{,}386\cdot10^{-16}}{2{,}78\cdot10^{-25}} \approx 5\cdot10^{8}\ \text{м}^{-3}.$$
Полмиллиарда фотонов в кубометре звучит внушительно, но на самом деле это очень разреженный пучок: у каждого фотона в среднем «своя» кубическая ячейка со стороной около $1{,}3$ мм. Оттого и давление получилось микроскопическим — миллионные доли паскаля.
Почему такая модель применима. Первое — представление о свете как о потоке частиц с импульсом $p=h/\lambda$ (корпускулярно-волновой дуализм); именно оно позволяет считать давление света «на пальцах», как удары градин о крышу. Второе — второй закон Ньютона в импульсной форме и третий закон Ньютона: сколько импульса теряют фотоны, столько получает пластинка. Третье — внимательный учёт условия: рассеянием и поглощением велено пренебречь, поэтому прошедшие фотоны сохраняют направление и импульса не передают, а множитель в формуле давления получается $2\rho$, а не привычный $(1+\rho)$, который годится лишь тогда, когда неотражённая часть излучения поглощается. Наконец, равномерное распределение фотонов в пучке позволяет говорить о единой концентрации $n$ и считать поток простым произведением $ncS$.