ID: 00026503
В вакууме находятся два кальциевых электрода, к которым подключён конденсатор ёмкостью 4000 пФ. При длительном освещении катода светом фототок между электродами, возникший вначале, прекращается, а на конденсаторе появляется заряд 5,5\cdot 10^{-9} Кл. «Красная граница» фотоэффекта для кальция \lambda_{0} =450 нм. Определите частоту световой волны, освещающей катод. Ёмкостью системы электродов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Схема хитрая, но идея простая. Свет выбивает электроны из катода, они долетают до второго электрода и накапливаются там. Заряд копится на конденсаторе, между электродами растёт напряжение — и оно тормозит следующие электроны всё сильнее. Когда напряжение дорастает до запирающего, даже самые быстрые электроны перестают долетать, ток прекращается, и накопление останавливается. Значит, измеренный заряд конденсатора — это способ узнать запирающее напряжение.
Шаг 1 — находим напряжение. Ёмкость конденсатора по определению связывает заряд и напряжение: q=CU, откуда
U = \frac{q}{C} = \frac{5{,}5\cdot10^{-9}}{4000\cdot10^{-12}} = \frac{5{,}5\cdot10^{-9}}{4\cdot10^{-9}} = 1{,}375\ \text{В}.
Здесь 4000 пФ =4000\cdot10^{-12} Ф =4\cdot10^{-9} Ф. Условие «ёмкостью системы электродов пренебречь» как раз и означает, что весь заряд сидит на конденсаторе, а не размазан по электродам.
Шаг 2 — работа выхода из красной границы. Кальций характеризуется красной границей \lambda_0=450 нм: на этой длине волны энергии фотона хватает ровно на вырывание электрона, и кинетической энергии не остаётся. Поэтому
A = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{4{,}5\cdot10^{-7}} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{4{,}5\cdot10^{-7}} \approx 4{,}42\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Шаг 3 — кинетическая энергия самых быстрых электронов. Раз ток прекратился, напряжение U полностью съедает их энергию:
E_k = eU = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot 1{,}375 = 2{,}2\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Шаг 4 — уравнение Эйнштейна и ответ. Энергия фотона равна сумме работы выхода и кинетической энергии:
h\nu = A + E_k = 4{,}42\cdot10^{-19} + 2{,}2\cdot10^{-19} = 6{,}62\cdot10^{-19}\ \text{Дж},
\nu = \frac{6{,}62\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 1{,}0\cdot10^{15}\ \text{Гц}.
Проверим себя: такой частоте отвечает длина волны \lambda = c/\nu = 3\cdot10^{8}/10^{15} = 3\cdot10^{-7} м =300 нм — ультрафиолет. Он «энергичнее» красной границы 450 нм, значит фотоэффект действительно возможен. Всё сходится.
Почему такая модель применима. Основа — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии для акта поглощения одного кванта h\nu одним электроном. Красная граница даёт работу выхода без отдельных данных, поскольку на ней кинетическая энергия равна нулю по определению. Прекращение тока — признак того, что напряжение между электродами стало запирающим, а работа электростатического поля eU равна максимальной кинетической энергии фотоэлектронов. Наконец, связь q=CU — это определение электроёмкости; ею можно пользоваться, потому что процесс дошёл до установившегося состояния (в условии сказано «при длительном освещении»), когда заряд перестал меняться.