ID: 00026503
В вакууме находятся два кальциевых электрода, к которым подключён конденсатор ёмкостью 4000 пФ. При длительном освещении катода светом фототок между электродами, возникший вначале, прекращается, а на конденсаторе появляется заряд $5,5\cdot 10^{-9}$ Кл. «Красная граница» фотоэффекта для кальция $\lambda_{0} =450$ нм. Определите частоту световой волны, освещающей катод. Ёмкостью системы электродов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Схема хитрая, но идея простая. Свет выбивает электроны из катода, они долетают до второго электрода и накапливаются там. Заряд копится на конденсаторе, между электродами растёт напряжение — и оно тормозит следующие электроны всё сильнее. Когда напряжение дорастает до запирающего, даже самые быстрые электроны перестают долетать, ток прекращается, и накопление останавливается. Значит, измеренный заряд конденсатора — это способ узнать запирающее напряжение.
Шаг 1 — находим напряжение. Ёмкость конденсатора по определению связывает заряд и напряжение: $q=CU$, откуда
$$U = \frac{q}{C} = \frac{5{,}5\cdot10^{-9}}{4000\cdot10^{-12}} = \frac{5{,}5\cdot10^{-9}}{4\cdot10^{-9}} = 1{,}375\ \text{В}.$$
Здесь $4000$ пФ $=4000\cdot10^{-12}$ Ф $=4\cdot10^{-9}$ Ф. Условие «ёмкостью системы электродов пренебречь» как раз и означает, что весь заряд сидит на конденсаторе, а не размазан по электродам.
Шаг 2 — работа выхода из красной границы. Кальций характеризуется красной границей $\lambda_0=450$ нм: на этой длине волны энергии фотона хватает ровно на вырывание электрона, и кинетической энергии не остаётся. Поэтому
$$A = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{4{,}5\cdot10^{-7}} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{4{,}5\cdot10^{-7}} \approx 4{,}42\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Шаг 3 — кинетическая энергия самых быстрых электронов. Раз ток прекратился, напряжение $U$ полностью съедает их энергию:
$$E_k = eU = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot 1{,}375 = 2{,}2\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — уравнение Эйнштейна и ответ. Энергия фотона равна сумме работы выхода и кинетической энергии:
$$h\nu = A + E_k = 4{,}42\cdot10^{-19} + 2{,}2\cdot10^{-19} = 6{,}62\cdot10^{-19}\ \text{Дж},$$
$$\nu = \frac{6{,}62\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 1{,}0\cdot10^{15}\ \text{Гц}.$$
Проверим себя: такой частоте отвечает длина волны $\lambda = c/\nu = 3\cdot10^{8}/10^{15} = 3\cdot10^{-7}$ м $=300$ нм — ультрафиолет. Он «энергичнее» красной границы $450$ нм, значит фотоэффект действительно возможен. Всё сходится.
Почему такая модель применима. Основа — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии для акта поглощения одного кванта $h\nu$ одним электроном. Красная граница даёт работу выхода без отдельных данных, поскольку на ней кинетическая энергия равна нулю по определению. Прекращение тока — признак того, что напряжение между электродами стало запирающим, а работа электростатического поля $eU$ равна максимальной кинетической энергии фотоэлектронов. Наконец, связь $q=CU$ — это определение электроёмкости; ею можно пользоваться, потому что процесс дошёл до установившегося состояния (в условии сказано «при длительном освещении»), когда заряд перестал меняться.