ID: 00026494
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп ^{24}_{11}\text{Na}. Активность 1 см³ этого раствора a_0=2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа ^{24}_{11}\text{Na} равен T=15{,}3 ч. Через t=3 ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала a=0{,}28 распада в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента V=6 л? Переходом ядер изотопа ^{24}_{11}\text{Na} из крови в другие ткани организма пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сюжет медицинский, но физика простая: в кровь влили немного «светящегося» вещества, оно размешалось по всему объёму крови и одновременно потихоньку распадается. Через несколько часов измерили, насколько «фонит» один кубический сантиметр крови, и по этому числу надо восстановить, сколько же раствора влили. Две вещи ослабили сигнал: разбавление кровью и радиоактивный распад. Оба множителя надо учесть.
Шаг 1 — сколько активности влили. Пусть искомый объём раствора равен V_p. Активность одного кубического сантиметра раствора a_0=2000 с⁻¹, значит вся введённая порция имела активность
A_0 = a_0 V_p.
Активность — это число распадов в секунду, и она пропорциональна числу ещё не распавшихся ядер.
Шаг 2 — распад со временем. По закону радиоактивного распада число ядер (а с ним и активность) убывает вдвое за каждый период полураспада:
A(t) = A_0\cdot 2^{-t/T}.
Здесь T=15{,}3 ч — период полураспада, t — прошедшее время.
Шаг 3 — разбавление. Натрий равномерно разошёлся по всей крови объёмом V=6 л =6000 см³, а из крови никуда не уходит (так велит условие). Поэтому активность одного кубического сантиметра крови в момент t:
a = \frac{A(t)}{V} = \frac{a_0 V_p}{V}\cdot 2^{-t/T}.
Шаг 4 — выражаем объём раствора:
V_p = \frac{a V}{a_0}\cdot 2^{\,t/T}.
Шаг 5 — числа. Сначала время в одинаковых единицах: t=3 ч 50 мин =230 мин, T=15{,}3 ч =918 мин. Отношение
\frac{t}{T} = \frac{230}{918} \approx 0{,}25.
То есть прошла ровно четверть периода полураспада, и множитель равен 2^{0{,}25}=\sqrt[4]{2}\approx1{,}19. Подставляем:
V_p = \frac{0{,}28\cdot 6000}{2000}\cdot 1{,}19 = \frac{1680}{2000}\cdot 1{,}19 = 0{,}84\cdot 1{,}19 \approx 1{,}0\ \text{см}^3.
Прикинем правдоподобность: один кубик раствора с активностью 2000 распадов в секунду, размазанный по шести литрам крови, дал бы 2000/6000 \approx 0{,}33 распада в секунду на кубик — а измерили 0{,}28, чуть меньше, потому что за неполные четыре часа часть ядер успела распасться. Всё сходится.
Почему такая модель применима. Работает закон радиоактивного распада N=N_0 2^{-t/T}: распад каждого ядра — случайное событие, не зависящее от соседей и от того, находится ядро в пробирке или в крови, поэтому доля выживших ядер одинакова и до, и после введения. Активность прямо пропорциональна числу ядер (A=\lambda N), поэтому она подчиняется тому же закону — это позволяет работать с активностями, не считая сами ядра. Наконец, условие «пренебречь переходом ядер в другие ткани» и полное перемешивание позволяют считать концентрацию натрия одинаковой во всём объёме крови: только поэтому измерение одного кубического сантиметра говорит о всех шести литрах.