Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026494

Сюжет медицинский, но физика простая: в кровь влили немного «светящегося» вещества, оно размешалось по всему объёму крови и одновременно потихоньку распадается. Через несколько часов измерили, насколько «фонит» один кубический сантиметр крови, и по этому числу надо восстановить, сколько же раствора влили. Две вещи ослабили сигнал: разбавление кровью и радиоактивный распад. Оба множителя надо учесть.

Шаг 1 — сколько активности влили. Пусть искомый объём раствора равен $V_p$. Активность одного кубического сантиметра раствора $a_0=2000$ с⁻¹, значит вся введённая порция имела активность

$$A_0 = a_0 V_p.$$

Активность — это число распадов в секунду, и она пропорциональна числу ещё не распавшихся ядер.

Шаг 2 — распад со временем. По закону радиоактивного распада число ядер (а с ним и активность) убывает вдвое за каждый период полураспада:

$$A(t) = A_0\cdot 2^{-t/T}.$$

Здесь $T=15{,}3$ ч — период полураспада, $t$ — прошедшее время.

Шаг 3 — разбавление. Натрий равномерно разошёлся по всей крови объёмом $V=6$ л $=6000$ см³, а из крови никуда не уходит (так велит условие). Поэтому активность одного кубического сантиметра крови в момент $t$:

$$a = \frac{A(t)}{V} = \frac{a_0 V_p}{V}\cdot 2^{-t/T}.$$

Шаг 4 — выражаем объём раствора:

$$V_p = \frac{a V}{a_0}\cdot 2^{\,t/T}.$$

Шаг 5 — числа. Сначала время в одинаковых единицах: $t=3$ ч $50$ мин $=230$ мин, $T=15{,}3$ ч $=918$ мин. Отношение

$$\frac{t}{T} = \frac{230}{918} \approx 0{,}25.$$

То есть прошла ровно четверть периода полураспада, и множитель равен $2^{0{,}25}=\sqrt[4]{2}\approx1{,}19$. Подставляем:

$$V_p = \frac{0{,}28\cdot 6000}{2000}\cdot 1{,}19 = \frac{1680}{2000}\cdot 1{,}19 = 0{,}84\cdot 1{,}19 \approx 1{,}0\ \text{см}^3.$$

Прикинем правдоподобность: один кубик раствора с активностью $2000$ распадов в секунду, размазанный по шести литрам крови, дал бы $2000/6000 \approx 0{,}33$ распада в секунду на кубик — а измерили $0{,}28$, чуть меньше, потому что за неполные четыре часа часть ядер успела распасться. Всё сходится.

Почему такая модель применима. Работает закон радиоактивного распада $N=N_0 2^{-t/T}$: распад каждого ядра — случайное событие, не зависящее от соседей и от того, находится ядро в пробирке или в крови, поэтому доля выживших ядер одинакова и до, и после введения. Активность прямо пропорциональна числу ядер ($A=\lambda N$), поэтому она подчиняется тому же закону — это позволяет работать с активностями, не считая сами ядра. Наконец, условие «пренебречь переходом ядер в другие ткани» и полное перемешивание позволяют считать концентрацию натрия одинаковой во всём объёме крови: только поэтому измерение одного кубического сантиметра говорит о всех шести литрах.