ID: 00026499
Электроны, вылетевшие в положительном направлении оси $OX$ под действием света с катода фотоэлемента, попадают в электрическое и магнитное поля (см. рисунок). Какой должна быть частота падающего света $\nu$, чтобы в момент попадания самых быстрых электронов в область полей действующая на них сила была направлена против оси $OY$? Работа выхода для вещества катода $2{,}39$ эВ, напряжённость электрического поля $3\cdot10^{2}$ В/м, индукция магнитного поля $10^{-3}$ Тл.
Источник: ФИПИ
Задача-перевёртыш: обычно по частоте света ищут поведение электрона, а тут наоборот — по требуемому направлению силы надо восстановить частоту. Сила складывается из двух: электрической и магнитной. По рисунку видно, что они действуют вдоль одной и той же оси $OY$, только в противоположные стороны, — значит всё сведётся к неравенству между двумя числами.
Шаг 1 — читаем рисунок. Ось $OZ$ направлена вверх, вдоль неё смотрит вектор индукции $\vec{B}$. Ось $OX$ идёт вправо-вверх, вдоль неё летит электрон со скоростью $\vec{v}$. Ось $OY$ направлена влево, и вдоль неё же смотрит вектор напряжённости $\vec{E}$.
Шаг 2 — электрическая сила. Заряд электрона отрицательный, поэтому сила $\vec{F}_{\text{эл}}$ направлена ПРОТИВ вектора $\vec{E}$, то есть против оси $OY$. Её модуль $F_{\text{эл}}=eE$. Как раз это направление нам и нужно получить в итоге.
Шаг 3 — магнитная сила. Сила Лоренца $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$. Скорость вдоль $OX$, индукция вдоль $OZ$, они перпендикулярны, поэтому модуль равен $F_{\text{маг}}=evB$. Направление: для положительного заряда векторное произведение $\vec{v}\times\vec{B}$ смотрит против оси $OY$, а у электрона знак минус разворачивает силу — она смотрит ВДОЛЬ оси $OY$. То есть магнитная сила мешает электрической.
Шаг 4 — условие задачи. Чтобы сумма была направлена против $OY$, электрическая сила должна пересилить магнитную:
$$eE \gt evB \quad\Rightarrow\quad v \lt \frac{E}{B} = \frac{3\cdot10^{2}}{10^{-3}} = 3\cdot10^{5}\ \text{м/с}.$$
Заметь, как удобно: заряд сократился, и осталось ограничение сверху на скорость самых быстрых электронов.
Шаг 5 — от скорости к частоте. Кинетическая энергия самых быстрых электронов не должна превышать
$$E_k = \frac{mv^2}{2} \lt \frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(3\cdot10^{5})^2}{2} = \frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{10}}{2} \approx 4{,}1\cdot10^{-20}\ \text{Дж}.$$
По уравнению Эйнштейна для фотоэффекта $h\nu = A + E_k$, где работа выхода
$$A = 2{,}39\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}82\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Значит,
$$h\nu \lt 3{,}82\cdot10^{-19} + 4{,}1\cdot10^{-20} = 4{,}23\cdot10^{-19}\ \text{Дж},$$
$$\nu \lt \frac{4{,}23\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 6{,}4\cdot10^{14}\ \text{Гц}.$$
Шаг 6 — не забыть про нижнюю границу. Фотоэффект вообще пойдёт только тогда, когда энергии фотона хватает на работу выхода:
$$\nu \gt \nu_{\text{кр}} = \frac{A}{h} = \frac{3{,}82\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 5{,}8\cdot10^{14}\ \text{Гц}.$$
Итого частота должна лежать в узком окне от $5{,}8\cdot10^{14}$ до $6{,}4\cdot10^{14}$ Гц — это как раз зелёно-жёлтая часть видимого света.
Почему такая модель применима. Скорость электрона перпендикулярна магнитной индукции, поэтому сила Лоренца максимальна по модулю ($\sin90^\circ=1$) и лежит в одной прямой с электрической силой — задача сводится к сравнению модулей без векторного сложения. Скорость самых быстрых электронов берётся из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, то есть из закона сохранения энергии при поглощении одного фотона одним электроном. Классическая формула $mv^2/2$ здесь законна: $3\cdot10^{5}$ м/с — это тысячная доля скорости света, релятивистские поправки пренебрежимо малы. И речь именно о моменте влёта в область полей, поэтому скорость ещё равна той, с какой электрон покинул катод.