ID: 00026499
Электроны, вылетевшие в положительном направлении оси OX под действием света с катода фотоэлемента, попадают в электрическое и магнитное поля (см. рисунок). Какой должна быть частота падающего света \nu, чтобы в момент попадания самых быстрых электронов в область полей действующая на них сила была направлена против оси OY? Работа выхода для вещества катода 2{,}39 эВ, напряжённость электрического поля 3\cdot10^{2} В/м, индукция магнитного поля 10^{-3} Тл.
Источник: ФИПИ
Задача-перевёртыш: обычно по частоте света ищут поведение электрона, а тут наоборот — по требуемому направлению силы надо восстановить частоту. Сила складывается из двух: электрической и магнитной. По рисунку видно, что они действуют вдоль одной и той же оси OY, только в противоположные стороны, — значит всё сведётся к неравенству между двумя числами.
Шаг 1 — читаем рисунок. Ось OZ направлена вверх, вдоль неё смотрит вектор индукции \vec{B}. Ось OX идёт вправо-вверх, вдоль неё летит электрон со скоростью \vec{v}. Ось OY направлена влево, и вдоль неё же смотрит вектор напряжённости \vec{E}.
Шаг 2 — электрическая сила. Заряд электрона отрицательный, поэтому сила \vec{F}_{\text{эл}} направлена ПРОТИВ вектора \vec{E}, то есть против оси OY. Её модуль F_{\text{эл}}=eE. Как раз это направление нам и нужно получить в итоге.
Шаг 3 — магнитная сила. Сила Лоренца \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}. Скорость вдоль OX, индукция вдоль OZ, они перпендикулярны, поэтому модуль равен F_{\text{маг}}=evB. Направление: для положительного заряда векторное произведение \vec{v}\times\vec{B} смотрит против оси OY, а у электрона знак минус разворачивает силу — она смотрит ВДОЛЬ оси OY. То есть магнитная сила мешает электрической.
Шаг 4 — условие задачи. Чтобы сумма была направлена против OY, электрическая сила должна пересилить магнитную:
eE \gt evB \quad\Rightarrow\quad v \lt \frac{E}{B} = \frac{3\cdot10^{2}}{10^{-3}} = 3\cdot10^{5}\ \text{м/с}.
Заметь, как удобно: заряд сократился, и осталось ограничение сверху на скорость самых быстрых электронов.
Шаг 5 — от скорости к частоте. Кинетическая энергия самых быстрых электронов не должна превышать
E_k = \frac{mv^2}{2} \lt \frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(3\cdot10^{5})^2}{2} = \frac{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{10}}{2} \approx 4{,}1\cdot10^{-20}\ \text{Дж}.
По уравнению Эйнштейна для фотоэффекта h\nu = A + E_k, где работа выхода
A = 2{,}39\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}82\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Значит,
h\nu \lt 3{,}82\cdot10^{-19} + 4{,}1\cdot10^{-20} = 4{,}23\cdot10^{-19}\ \text{Дж},
\nu \lt \frac{4{,}23\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 6{,}4\cdot10^{14}\ \text{Гц}.
Шаг 6 — не забыть про нижнюю границу. Фотоэффект вообще пойдёт только тогда, когда энергии фотона хватает на работу выхода:
\nu \gt \nu_{\text{кр}} = \frac{A}{h} = \frac{3{,}82\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 5{,}8\cdot10^{14}\ \text{Гц}.
Итого частота должна лежать в узком окне от 5{,}8\cdot10^{14} до 6{,}4\cdot10^{14} Гц — это как раз зелёно-жёлтая часть видимого света.
Почему такая модель применима. Скорость электрона перпендикулярна магнитной индукции, поэтому сила Лоренца максимальна по модулю (\sin90^\circ=1) и лежит в одной прямой с электрической силой — задача сводится к сравнению модулей без векторного сложения. Скорость самых быстрых электронов берётся из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, то есть из закона сохранения энергии при поглощении одного фотона одним электроном. Классическая формула mv^2/2 здесь законна: 3\cdot10^{5} м/с — это тысячная доля скорости света, релятивистские поправки пренебрежимо малы. И речь именно о моменте влёта в область полей, поэтому скорость ещё равна той, с какой электрон покинул катод.