Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026501

Здесь нет ни одного «готового» числа для подстановки в формулу — есть только рассказ о том, как менялись частота и напряжение. Значит, работать будем в буквах: составим два уравнения (для первого и второго опыта) и вычтем одно из другого. Неизвестная работа выхода найдётся сама.

Шаг 1 — что такое задерживающее напряжение. Это такое напряжение, которое полностью тормозит самые быстрые фотоэлектроны, и ток прекращается. Работа поля равна их кинетической энергии:

$$eU = E_k.$$

Шаг 2 — уравнение Эйнштейна в двух опытах. Энергия фотона делится на работу выхода $A$ и кинетическую энергию:

$$h\nu_1 = A + eU_1,\qquad h\nu_2 = A + eU_2.$$

По условию $\nu_2 = 2\nu_1$ и $U_2 = 3U_1$. Подставляем:

$$h\nu_1 = A + eU_1,\qquad 2h\nu_1 = A + 3eU_1.$$

Шаг 3 — решаем систему. Из первого уравнения $eU_1 = h\nu_1 - A$. Подставим во второе:

$$2h\nu_1 = A + 3(h\nu_1 - A) = 3h\nu_1 - 2A.$$

Переносим:

$$2A = 3h\nu_1 - 2h\nu_1 = h\nu_1 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{h\nu_1}{2}.$$

Красивый результат: работа выхода оказалась ровно вдвое меньше энергии первого фотона.

Шаг 4 — переходим к красной границе. «Красная граница» — это самая большая длина волны $\lambda_0$, при которой фотоэффект ещё возможен: энергии фотона хватает точно на работу выхода, а на скорость уже ничего не остаётся. Значит,

$$A = \frac{hc}{\lambda_0} \quad\Rightarrow\quad \lambda_0 = \frac{hc}{A} = \frac{hc}{h\nu_1/2} = \frac{2c}{\nu_1}.$$

Постоянная Планка сократилась целиком — считать её значение даже не придётся.

Шаг 5 — числа:

$$\lambda_0 = \frac{2\cdot 3\cdot10^{8}}{0{,}75\cdot10^{15}} = \frac{6\cdot10^{8}}{7{,}5\cdot10^{14}} = 8\cdot10^{-7}\ \text{м} = 800\ \text{нм}.$$

Проверим правдоподобность: $800$ нм — это самый край видимого диапазона, ближний инфракрасный свет. Такая красная граница бывает у щелочных металлов вроде цезия, и это нормально. А исходная частота $0{,}75\cdot10^{15}$ Гц соответствует длине волны $400$ нм, то есть фиолетовому свету, — он вдвое «энергичнее» границы, всё согласуется.

Почему такая модель применима. В основе — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии при поглощении одного фотона одним электроном: свет передаёт энергию порциями $h\nu$ (гипотеза Планка о квантах). Задерживающее напряжение измеряет максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, потому что работа электростатического поля не зависит от траектории и равна $eU$. Красная граница по определению — состояние, в котором кинетическая энергия обращается в ноль, отсюда и связь $A=hc/\lambda_0$. Обрати внимание: условие не даёт ни работы выхода, ни самих напряжений, но их и не требуется — два опыта дают систему двух уравнений, из которой всё лишнее уходит.