ID: 00026501
При увеличении в 2 раза частоты света, падающего на поверхность металла, задерживающее напряжение для фотоэлектронов увеличилось в 3 раза. Первоначальная частота падающего света была равна 0{,}75\cdot10^{15} Гц. Какова длина волны, соответствующая «красной границе» фотоэффекта для этого металла?
Источник: ФИПИ
Здесь нет ни одного «готового» числа для подстановки в формулу — есть только рассказ о том, как менялись частота и напряжение. Значит, работать будем в буквах: составим два уравнения (для первого и второго опыта) и вычтем одно из другого. Неизвестная работа выхода найдётся сама.
Шаг 1 — что такое задерживающее напряжение. Это такое напряжение, которое полностью тормозит самые быстрые фотоэлектроны, и ток прекращается. Работа поля равна их кинетической энергии:
eU = E_k.
Шаг 2 — уравнение Эйнштейна в двух опытах. Энергия фотона делится на работу выхода A и кинетическую энергию:
h\nu_1 = A + eU_1,\qquad h\nu_2 = A + eU_2.
По условию \nu_2 = 2\nu_1 и U_2 = 3U_1. Подставляем:
h\nu_1 = A + eU_1,\qquad 2h\nu_1 = A + 3eU_1.
Шаг 3 — решаем систему. Из первого уравнения eU_1 = h\nu_1 - A. Подставим во второе:
2h\nu_1 = A + 3(h\nu_1 - A) = 3h\nu_1 - 2A.
Переносим:
2A = 3h\nu_1 - 2h\nu_1 = h\nu_1 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{h\nu_1}{2}.
Красивый результат: работа выхода оказалась ровно вдвое меньше энергии первого фотона.
Шаг 4 — переходим к красной границе. «Красная граница» — это самая большая длина волны \lambda_0, при которой фотоэффект ещё возможен: энергии фотона хватает точно на работу выхода, а на скорость уже ничего не остаётся. Значит,
A = \frac{hc}{\lambda_0} \quad\Rightarrow\quad \lambda_0 = \frac{hc}{A} = \frac{hc}{h\nu_1/2} = \frac{2c}{\nu_1}.
Постоянная Планка сократилась целиком — считать её значение даже не придётся.
Шаг 5 — числа:
\lambda_0 = \frac{2\cdot 3\cdot10^{8}}{0{,}75\cdot10^{15}} = \frac{6\cdot10^{8}}{7{,}5\cdot10^{14}} = 8\cdot10^{-7}\ \text{м} = 800\ \text{нм}.
Проверим правдоподобность: 800 нм — это самый край видимого диапазона, ближний инфракрасный свет. Такая красная граница бывает у щелочных металлов вроде цезия, и это нормально. А исходная частота 0{,}75\cdot10^{15} Гц соответствует длине волны 400 нм, то есть фиолетовому свету, — он вдвое «энергичнее» границы, всё согласуется.
Почему такая модель применима. В основе — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии при поглощении одного фотона одним электроном: свет передаёт энергию порциями h\nu (гипотеза Планка о квантах). Задерживающее напряжение измеряет максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, потому что работа электростатического поля не зависит от траектории и равна eU. Красная граница по определению — состояние, в котором кинетическая энергия обращается в ноль, отсюда и связь A=hc/\lambda_0. Обрати внимание: условие не даёт ни работы выхода, ни самих напряжений, но их и не требуется — два опыта дают систему двух уравнений, из которой всё лишнее уходит.