ID: 00026504
На плоскую цинковую пластинку падает электромагнитное излучение. Фотоэлектроны удаляются от поверхности пластинки на расстояние не более 8,75 см в задерживающем однородном электрическом поле, перпендикулярном пластинке. Напряжённость поля 100 В/м. Работа выхода электрона с поверхности цинка 3,74 эВ. Какова длина волны падающего излучения?
Источник: ФИПИ
Электрон вылетает из пластинки и летит против тормозящего поля, как мячик, брошенный вверх: чем больше у него было энергии, тем дальше он забирается, прежде чем остановиться. Нам сообщили дальность полёта — значит, можно восстановить кинетическую энергию, а по ней и энергию фотона, который эту работу проделал.
Шаг 1 — какая разность потенциалов «пройдена». Поле однородное, поэтому разность потенциалов между пластинкой и точкой остановки считается элементарно:
$$U = E d = 100\cdot 0{,}0875 = 8{,}75\ \text{В},$$
где $E=100$ В/м — напряжённость, а $d=8{,}75$ см $=0{,}0875$ м — максимальное удаление.
Шаг 2 — кинетическая энергия самых быстрых электронов. В точке остановки скорость равна нулю, значит вся кинетическая энергия ушла на работу против электрической силы:
$$E_k = eU = e\cdot 8{,}75\ \text{В} = 8{,}75\ \text{эВ}.$$
Если считать в электронвольтах, то ответ читается сразу: заряд, прошедший разность потенциалов $8{,}75$ В, теряет $8{,}75$ эВ. Это очень удобная особенность электронвольта.
Шаг 3 — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Энергия фотона равна сумме работы выхода и кинетической энергии:
$$\frac{hc}{\lambda} = A + E_k = 3{,}74 + 8{,}75 = 12{,}49\ \text{эВ}.$$
Шаг 4 — переводим в джоули и находим длину волны:
$$A + E_k = 12{,}49\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} \approx 2{,}0\cdot10^{-18}\ \text{Дж},$$
$$\lambda = \frac{hc}{A+E_k} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{2{,}0\cdot10^{-18}} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{2{,}0\cdot10^{-18}} \approx 1{,}0\cdot10^{-7}\ \text{м}.$$
То есть примерно $100$ нм. Прикинем правдоподобность: у цинка красная граница около $330$ нм, а излучение с длиной волны $100$ нм втрое «энергичнее» — жёсткий ультрафиолет, электронам достаётся хороший запас скорости. Именно поэтому они и улетают на целых восемь сантиметров.
Почему такая модель применима. Первое — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: свет поглощается порциями $h\nu=hc/\lambda$, один квант на один электрон, и энергия делится между работой выхода и кинетической энергией. Второе — теорема о кинетической энергии для однородного электростатического поля: сила постоянна и направлена против движения, поэтому её работа равна $-eEd$, а в точке максимального удаления скорость обращается в ноль. Наибольшее расстояние проходят электроны с максимальной кинетической энергией — их и имеет в виду условие «не более». Скорости здесь порядка $10^{6}$ м/с, это заметно меньше скорости света, так что классическая механика вполне годится.