ID: 00026505
Электромагнитное излучение с длиной волны 3{,}3\cdot10^{-7} м используется для нагревания воды. Какую массу воды можно нагреть за 70 с на 10\,^\circС, если источник излучает 10^{20} фотонов за 1 с? Считать, что излучение полностью поглощается водой, а теплопотерь в окружающую среду нет.
Источник: ФИПИ
Забавный способ вскипятить чайник — фотонами. Но физика тут честная и очень «бухгалтерская»: посчитаем, сколько энергии несёт один фотон, умножим на число фотонов и приравняем к теплоте, которая нужна воде. Никаких хитростей, только внимательность с порядками.
Шаг 1 — энергия одного фотона. По формуле Планка энергия кванта света определяется его длиной волны:
\varepsilon = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3{,}3\cdot10^{-7}} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{3{,}3\cdot10^{-7}} \approx 6{,}0\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Один фотон несёт исчезающе мало энергии — поэтому их и нужны астрономические количества.
Шаг 2 — сколько фотонов прилетело. Источник даёт n=10^{20} фотонов в секунду, работает t=70 с:
N = n t = 10^{20}\cdot 70 = 7\cdot10^{21}.
Шаг 3 — вся поглощённая энергия. По условию излучение поглощается полностью, значит вода получает
Q = N\varepsilon = 7\cdot10^{21}\cdot 6{,}0\cdot10^{-19} \approx 4{,}2\cdot10^{3}\ \text{Дж}.
Шаг 4 — сколько нужно воде. Теплота на нагревание:
Q = c\,m\,\Delta t,
где c=4200 Дж/(кг\cdotК) — удельная теплоёмкость воды, \Delta t=10\,^\circС — на сколько градусов греем, m — искомая масса. Отсюда
m = \frac{Q}{c\,\Delta t} = \frac{4{,}2\cdot10^{3}}{4200\cdot 10} = \frac{4200}{42\,000} = 0{,}1\ \text{кг}.
Сто граммов воды — примерно полстакана. И приятная проверка: полученная энергия 4200 Дж — это ровно столько, сколько нужно, чтобы нагреть один килограмм воды на один градус; значит, ста граммов на десять градусов хватит точь-в-точь.
Почему такая модель применима. Здесь работает гипотеза Планка о квантах: свет несёт энергию не сплошным потоком, а порциями по \varepsilon=hc/\lambda, поэтому полная энергия — просто число фотонов, умноженное на энергию одного. Дальше вступает закон сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса: раз излучение поглощается полностью и потерь в окружающую среду нет, вся энергия фотонов превращается во внутреннюю энергию воды и идёт на её нагрев по формуле Q=cm\Delta t. Заметь: вода только нагревается, до кипения дело не доходит, поэтому слагаемого с теплотой парообразования в балансе нет.