ID: 00026511
Металлическая пластина облучается монохроматическим электромагнитным излучением. Работа выхода электронов из данного металла равна 4{,}7 эВ. Вылетающие из пластины фотоэлектроны попадают в однородное электрическое поле напряжённостью 100 В/м. Вектор напряжённости \vec{E} поля направлен к пластине перпендикулярно её поверхности. Измерения показали, что на расстоянии 20 см от пластины максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 21{,}9 эВ. Определите частоту падающего на пластину электромагнитного излучения.
Источник: ФИПИ
Самое важное здесь — правильно понять, что делает поле: разгоняет электроны или тормозит. Вектор напряжённости смотрит К пластине, а заряд электрона отрицательный, поэтому сила на него направлена ПРОТИВ вектора \vec{E}, то есть ОТ пластины. Выходит, поле подгоняет электроны в спину: на расстоянии 20 см у них энергии больше, чем было при вылете. Значит, измеренные 21{,}9 эВ — это уже «с добавкой», и добавку надо вычесть.
Шаг 1 — какую энергию добавило поле. Поле однородное, сила постоянна и направлена вдоль движения, поэтому её работа равна
A_{\text{поля}} = e E d.
Если считать в электронвольтах, всё становится совсем наглядно: разность потенциалов на пути электрона равна
U = E d = 100\cdot 0{,}2 = 20\ \text{В},
а электрон, прошедший 20 вольт, набирает ровно 20 эВ. Здесь d=20 см =0{,}2 м.
Шаг 2 — кинетическая энергия сразу после вылета. По теореме о кинетической энергии
E_{k}(d) = E_{k0} + eEd \quad\Rightarrow\quad E_{k0} = 21{,}9 - 20 = 1{,}9\ \text{эВ}.
Вот она, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов у самой пластины — именно эта величина входит в уравнение фотоэффекта.
Шаг 3 — уравнение Эйнштейна. Энергия фотона расходуется на работу выхода и на кинетическую энергию электрона:
h\nu = A + E_{k0} = 4{,}7 + 1{,}9 = 6{,}6\ \text{эВ}.
Шаг 4 — переводим в джоули и находим частоту:
h\nu = 6{,}6\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} \approx 1{,}06\cdot10^{-18}\ \text{Дж},
\nu = \frac{1{,}06\cdot10^{-18}}{6{,}63\cdot10^{-34}} \approx 1{,}6\cdot10^{15}\ \text{Гц}.
Проверим себя: такой частоте отвечает длина волны \lambda = c/\nu = 3\cdot10^{8}/1{,}6\cdot10^{15} \approx 1{,}9\cdot10^{-7} м, то есть около 190 нм — ультрафиолет. Для работы выхода в 4{,}7 эВ (красная граница около 264 нм) это как раз то, что нужно: фотоэффект идёт, и небольшой остаток в 1{,}9 эВ достаётся электрону. Всё сходится.
Почему такая модель применима. Ключевой закон — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии при поглощении одного кванта h\nu одним электроном; в него подставляется кинетическая энергия в момент вылета, а не где-то в пути. Изменение энергии при движении в поле описывает теорема о кинетической энергии; поле однородное, поэтому работа считается как eEd без интегрирования, а знак определяется взаимной ориентацией силы и перемещения — для отрицательного заряда сила противоположна \vec{E}, и здесь поле именно ускоряет. Слово «максимальная» относится к электронам, потерявшим на выход ровно работу выхода. Скорости остаются нерелятивистскими, так что классические формулы законны.