Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026510

Задача-эстафета: сначала атом водорода рождает фотон, потом этот фотон летит на фотокатод и выбивает электрон. Энергия передаётся по цепочке, и наше дело — проследить её путь. Считать удобнее всего в электронвольтах: и уровни атома, и работа выхода в этих единицах выглядят как обычные однозначные числа.

Шаг 1 — энергия родившегося фотона. По второму постулату Бора при переходе атома с более высокого уровня на более низкий испускается фотон, энергия которого равна разности энергий этих уровней:

$$\varepsilon = E_2 - E_1.$$

Считаем сами уровни по данной формуле:

$$E_1 = -\frac{13{,}6}{1^{2}} = -13{,}6\ \text{эВ},\qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{2^{2}} = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4\ \text{эВ}.$$

Тогда

$$\varepsilon = -3{,}4 - (-13{,}6) = 13{,}6 - 3{,}4 = 10{,}2\ \text{эВ}.$$

Минусы у уровней не должны пугать: они означают лишь, что электрон связан в атоме, а разность всё равно получается положительной — фотон уносит энергию.

Шаг 2 — работа выхода фотокатода. Красная граница — та самая длина волны, при которой энергии фотона хватает точно на вырывание электрона и ни на что больше. Поэтому

$$A = \frac{hc}{\lambda_{\text{кр}}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3\cdot10^{-7}} = 6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Переведём в электронвольты, поделив на $1{,}6\cdot10^{-19}$:

$$A \approx 4{,}1\ \text{эВ}.$$

Шаг 3 — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$$\varepsilon = A + E_k \quad\Rightarrow\quad E_k = \varepsilon - A = 10{,}2 - 4{,}1 = 6{,}1\ \text{эВ}.$$

В джоулях это

$$E_k = 6{,}1\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} \approx 9{,}7\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Проверим осмысленность: фотон с энергией $10{,}2$ эВ — это ультрафиолет с длиной волны около $122$ нм (знаменитая линия Лайман-альфа водорода). Он заметно «энергичнее» красной границы $300$ нм, поэтому фотоэффект точно пойдёт, а электрону достанется солидный остаток — больше половины энергии фотона. Всё сходится.

Почему такая модель применима. Работают три положения. Первое — постулаты Бора: энергия атома принимает лишь дискретные значения $E_n$, а при переходе между уровнями излучается один фотон с энергией, равной разности уровней (закон сохранения энергии для атома). Второе — связь работы выхода с красной границей: на границе кинетическая энергия равна нулю по определению, поэтому $A=hc/\lambda_{\text{кр}}$. Третье — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, тот же закон сохранения энергии, но уже для поглощения фотона электроном металла. Слово «максимально возможная» в вопросе означает, что мы берём электрон, у которого на выход из металла ушла ровно работа выхода и ни джоуля больше (электроны из глубины металла теряют больше и вылетают медленнее).