ID: 00026510
Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой $E_n=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}}$ эВ, где $n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$ . При переходе атома из состояния $E_2$ в состояние $E_1$ атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, $\lambda_{\text{кр}}=300$ нм. Чему равна максимально возможная кинетическая энергия фотоэлектрона?
Источник: ФИПИ
Задача-эстафета: сначала атом водорода рождает фотон, потом этот фотон летит на фотокатод и выбивает электрон. Энергия передаётся по цепочке, и наше дело — проследить её путь. Считать удобнее всего в электронвольтах: и уровни атома, и работа выхода в этих единицах выглядят как обычные однозначные числа.
Шаг 1 — энергия родившегося фотона. По второму постулату Бора при переходе атома с более высокого уровня на более низкий испускается фотон, энергия которого равна разности энергий этих уровней:
$$\varepsilon = E_2 - E_1.$$
Считаем сами уровни по данной формуле:
$$E_1 = -\frac{13{,}6}{1^{2}} = -13{,}6\ \text{эВ},\qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{2^{2}} = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4\ \text{эВ}.$$
Тогда
$$\varepsilon = -3{,}4 - (-13{,}6) = 13{,}6 - 3{,}4 = 10{,}2\ \text{эВ}.$$
Минусы у уровней не должны пугать: они означают лишь, что электрон связан в атоме, а разность всё равно получается положительной — фотон уносит энергию.
Шаг 2 — работа выхода фотокатода. Красная граница — та самая длина волны, при которой энергии фотона хватает точно на вырывание электрона и ни на что больше. Поэтому
$$A = \frac{hc}{\lambda_{\text{кр}}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3\cdot10^{-7}} = 6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Переведём в электронвольты, поделив на $1{,}6\cdot10^{-19}$:
$$A \approx 4{,}1\ \text{эВ}.$$
Шаг 3 — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$$\varepsilon = A + E_k \quad\Rightarrow\quad E_k = \varepsilon - A = 10{,}2 - 4{,}1 = 6{,}1\ \text{эВ}.$$
В джоулях это
$$E_k = 6{,}1\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} \approx 9{,}7\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Проверим осмысленность: фотон с энергией $10{,}2$ эВ — это ультрафиолет с длиной волны около $122$ нм (знаменитая линия Лайман-альфа водорода). Он заметно «энергичнее» красной границы $300$ нм, поэтому фотоэффект точно пойдёт, а электрону достанется солидный остаток — больше половины энергии фотона. Всё сходится.
Почему такая модель применима. Работают три положения. Первое — постулаты Бора: энергия атома принимает лишь дискретные значения $E_n$, а при переходе между уровнями излучается один фотон с энергией, равной разности уровней (закон сохранения энергии для атома). Второе — связь работы выхода с красной границей: на границе кинетическая энергия равна нулю по определению, поэтому $A=hc/\lambda_{\text{кр}}$. Третье — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, тот же закон сохранения энергии, но уже для поглощения фотона электроном металла. Слово «максимально возможная» в вопросе означает, что мы берём электрон, у которого на выход из металла ушла ровно работа выхода и ни джоуля больше (электроны из глубины металла теряют больше и вылетают медленнее).