Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026509

Ключевая фраза условия — «поршень некоторое время покоился, а затем сдвинулся». Значит, процесс распадается на два разных куска: сначала газ греется при неизменном объёме (поршень держит трение), а потом, когда давления хватает, чтобы сдвинуть поршень, — при неизменном давлении. Считать теплоту надо для каждого куска отдельно и сложить.

Шаг 1 — когда поршень тронется. Сосуд в вакууме, снаружи на поршень ничего не давит. Изнутри газ толкает его с силой $pS$, а удерживает трение $F_{\text{тр}}$. Поршень начнёт двигаться, когда сила давления сравняется с максимальной силой трения:

$$p_2 S = F_{\text{тр}} \quad\Rightarrow\quad p_2 = \frac{F_{\text{тр}}}{S} = \frac{3\cdot10^{3}}{25\cdot10^{-4}} = 1{,}2\cdot10^{6}\ \text{Па}.$$

Здесь $S = 25$ см² $= 25\cdot10^{-4}$ м². Пока давление меньше $1{,}2\cdot10^{6}$ Па, поршень стоит.

Шаг 2 — первый участок, изохорный нагрев. Начальный объём

$$V_1 = L S = 0{,}3\cdot 25\cdot10^{-4} = 7{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м}^3.$$

Объём не меняется, поэтому газ не совершает работы, и по первому закону термодинамики вся теплота идёт на внутреннюю энергию. Для одноатомного идеального газа $U=\tfrac{3}{2}\nu RT = \tfrac{3}{2}pV$ (мы просто заменили $\nu RT$ на $pV$ по уравнению Менделеева–Клапейрона — так удобнее, ведь ни количество вещества, ни температура нам не даны). Значит,

$$Q_1 = \Delta U_1 = \frac{3}{2}(p_2 - p_1)V_1 = \frac{3}{2}\cdot(1{,}2\cdot10^{6} - 4\cdot10^{5})\cdot 7{,}5\cdot10^{-4} = \frac{3}{2}\cdot 8\cdot10^{5}\cdot 7{,}5\cdot10^{-4} = 900\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — второй участок, изобарное расширение. Поршень движется медленно, то есть без ускорения, и сила трения остаётся прежней. Поэтому во всё время движения выполняется то же равенство $pS=F_{\text{тр}}$, и давление держится на уровне $p_2=1{,}2\cdot10^{6}$ Па — процесс изобарный. Изменение объёма:

$$\Delta V = S x = 25\cdot10^{-4}\cdot 0{,}1 = 2{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м}^3.$$

Работа газа при постоянном давлении:

$$A = p_2 \Delta V = 1{,}2\cdot10^{6}\cdot 2{,}5\cdot10^{-4} = 300\ \text{Дж}.$$

Изменение внутренней энергии:

$$\Delta U_2 = \frac{3}{2}p_2 \Delta V = \frac{3}{2}\cdot 300 = 450\ \text{Дж}.$$

По первому закону термодинамики

$$Q_2 = \Delta U_2 + A = 450 + 300 = 750\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — складываем:

$$Q = Q_1 + Q_2 = 900 + 750 = 1650\ \text{Дж}.$$

Заметь, куда ушла работа газа: все $300$ Дж поглотило трение и превратило в тепло стенок и поршня — но это уже за пределами нашей системы, газ их честно отдал.

Почему такая модель применима. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U + A$ — это закон сохранения энергии для газа; он работает на каждом участке по отдельности, поэтому процесс и разбит на два. Формула $U=\tfrac{3}{2}pV$ верна именно для одноатомного идеального газа (три степени свободы поступательного движения), а замена $\nu RT\to pV$ законна по уравнению Менделеева–Клапейрона. Постоянство давления на втором участке — не предположение, а следствие условия равновесия поршня: он движется медленно, значит равнодействующая сил на нём равна нулю, а сила трения по условию постоянна. И наконец, «сосуд в вакууме» — важное указание: снаружи на поршень не давит атмосфера, поэтому в условии равновесия участвуют только давление газа и трение.