Задание 23 ЕГЭ по физике: Сосуд объёмом V равно 10 л содержит ν равно 0, 5 моль гелия при…

Смысл задачи — найти «предел прочности» в энергетических единицах. Гелий заперт в сосуде постоянного объёма. Если его греть, давление растёт, и в какой-то момент сосуд лопнет. Нам разрешено дойти ровно до порога: давление 9p_{\text{a}}. Значит, надо посчитать, сколько теплоты нужно, чтобы догреть газ от начального состояния до этого порога.

Почему расчёт короткий. Объём сосуда не меняется, поэтому газ не совершает работы: A=p\Delta V=0. Первый закон термодинамики Q=\Delta U+A превращается в Q=\Delta U. Гелий одноатомный, значит, U=\dfrac{3}{2}\nu RT. А ещё пригодится удобная замена: из уравнения Клапейрона — Менделеева \nu RT=pV, поэтому \Delta U=\dfrac{3}{2}V\Delta p — можно работать прямо с давлениями, не переводя их в температуры.

Шаг 1 — начальное давление. Переводим: V=10 л =10^{-2} м³, T_{1}=17+273=290 К. p_{1}=\frac{\nu RT_{1}}{V}=\frac{0{,}5\cdot 8{,}31\cdot 290}{10^{-2}}=\frac{1205}{10^{-2}}\approx 1{,}2\cdot10^{5}\ \text{Па}. Немного выше атмосферного — сосуд изначально слегка «поддут».

Шаг 2 — предельное давление: p_{2}=9p_{\text{a}}=9\cdot10^{5}\ \text{Па}.

Шаг 3 — количество теплоты. Подставляем в Q=\dfrac{3}{2}V(p_{2}-p_{1}): Q=\frac{3}{2}\cdot 10^{-2}\cdot\left(9\cdot10^{5}-1{,}2\cdot10^{5}\right)=1{,}5\cdot10^{-2}\cdot 7{,}8\cdot10^{5}\approx 1{,}17\cdot10^{4}\ \text{Дж}.

Тот же ответ через температуры — для проверки. Предельная температура T_{2}=\frac{p_{2}V}{\nu R}=\frac{9\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{0{,}5\cdot 8{,}31}=\frac{9000}{4{,}155}\approx 2166\ \text{К}, и тогда Q=\frac{3}{2}\nu R(T_{2}-T_{1})=1{,}5\cdot 0{,}5\cdot 8{,}31\cdot(2166-290)\approx 6{,}23\cdot 1876\approx 1{,}17\cdot10^{4}\ \text{Дж}. Совпало, значит, ошибок нет.

Заодно любопытная оценка: чтобы разорвать сосуд, гелий пришлось бы разогреть почти до 2200 К — жарче любой газовой горелки. Зато самой энергии нужно немного, около 12 кДж: газа всего полмоля, а у одноатомного газа «ёмкость» на градус совсем небольшая.