Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026484

Смысл задачи — найти «предел прочности» в энергетических единицах. Гелий заперт в сосуде постоянного объёма. Если его греть, давление растёт, и в какой-то момент сосуд лопнет. Нам разрешено дойти ровно до порога: давление $9p_{\text{a}}$. Значит, надо посчитать, сколько теплоты нужно, чтобы догреть газ от начального состояния до этого порога.

Почему расчёт короткий. Объём сосуда не меняется, поэтому газ не совершает работы: $A=p\Delta V=0$. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ превращается в $Q=\Delta U$. Гелий одноатомный, значит, $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. А ещё пригодится удобная замена: из уравнения Клапейрона — Менделеева $\nu RT=pV$, поэтому $\Delta U=\dfrac{3}{2}V\Delta p$ — можно работать прямо с давлениями, не переводя их в температуры.

Шаг 1 — начальное давление. Переводим: $V=10$ л $=10^{-2}$ м³, $T_{1}=17+273=290$ К. $$p_{1}=\frac{\nu RT_{1}}{V}=\frac{0{,}5\cdot 8{,}31\cdot 290}{10^{-2}}=\frac{1205}{10^{-2}}\approx 1{,}2\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$ Немного выше атмосферного — сосуд изначально слегка «поддут».

Шаг 2 — предельное давление: $$p_{2}=9p_{\text{a}}=9\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$

Шаг 3 — количество теплоты. Подставляем в $Q=\dfrac{3}{2}V(p_{2}-p_{1})$: $$Q=\frac{3}{2}\cdot 10^{-2}\cdot\left(9\cdot10^{5}-1{,}2\cdot10^{5}\right)=1{,}5\cdot10^{-2}\cdot 7{,}8\cdot10^{5}\approx 1{,}17\cdot10^{4}\ \text{Дж}.$$

Тот же ответ через температуры — для проверки. Предельная температура $$T_{2}=\frac{p_{2}V}{\nu R}=\frac{9\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{0{,}5\cdot 8{,}31}=\frac{9000}{4{,}155}\approx 2166\ \text{К},$$ и тогда $$Q=\frac{3}{2}\nu R(T_{2}-T_{1})=1{,}5\cdot 0{,}5\cdot 8{,}31\cdot(2166-290)\approx 6{,}23\cdot 1876\approx 1{,}17\cdot10^{4}\ \text{Дж}.$$ Совпало, значит, ошибок нет.

Заодно любопытная оценка: чтобы разорвать сосуд, гелий пришлось бы разогреть почти до $2200$ К — жарче любой газовой горелки. Зато самой энергии нужно немного, около $12$ кДж: газа всего полмоля, а у одноатомного газа «ёмкость» на градус совсем небольшая.