ID: 00026466
В закрытом сосуде находится одноатомный идеальный газ, масса которого 12 г, а молярная масса 0,004 кг/моль. В начале опыта давление в сосуде равно 4 × 10⁵ Па при температуре 400 К. После охлаждения газа давление понизилось до 2 × 10⁵ Па. Какое количество теплоты отдал газ в ходе опыта? Стенки сосуда считать прочными и теплопроводимыми.
Источник: ФИПИ
Посмотрим на условия опыта. Газ заперт в закрытом сосуде с прочными стенками — значит, его объём не меняется что бы ни происходило. Стенки теплопроводящие, поэтому газ может обмениваться теплом с окружающей средой; его охлаждают, и давление падает вдвое. Нужно найти, сколько теплоты газ при этом отдал.
Почему решение получится коротким. Раз объём постоянен, газ не совершает работы: работа считается как $p\Delta V$, а $\Delta V=0$. Тогда первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ превращается в $Q=\Delta U$ — вся теплота идёт только на изменение внутренней энергии. Газ одноатомный, поэтому $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ и $\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$. Осталось найти количество вещества и конечную температуру.
Шаг 1 — количество вещества. Масса $m=12$ г $=0{,}012$ кг, молярная масса $M=0{,}004$ кг/моль (это гелий): $$\nu=\frac{m}{M}=\frac{0{,}012}{0{,}004}=3\ \text{моль}.$$
Шаг 2 — конечная температура. При постоянном объёме давление пропорционально абсолютной температуре (закон Шарля): $\dfrac{p_{1}}{T_{1}}=\dfrac{p_{2}}{T_{2}}$. Давление упало вдвое, значит, и температура упала вдвое: $$T_{2}=T_{1}\frac{p_{2}}{p_{1}}=400\cdot\frac{2\cdot10^{5}}{4\cdot10^{5}}=200\ \text{К}.$$
Шаг 3 — изменение внутренней энергии: $$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_{2}-T_{1})=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot 8{,}31\cdot(200-400)=37{,}395\cdot(-200)\approx -7479\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — теплота. Поскольку $Q=\Delta U$, полученная газом теплота отрицательна: $Q\approx-7479$ Дж. Отрицательное значение означает, что газ теплоту не получал, а отдавал, поэтому в ответ идёт модуль: $$|Q|\approx 7{,}5\cdot10^{3}\ \text{Дж}.$$
Проверим себя другим путём, без температур. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$, поэтому $|Q|=\dfrac{3}{2}V(p_{1}-p_{2})$. Объём найдём из начального состояния: $V=\dfrac{\nu RT_{1}}{p_{1}}=\dfrac{3\cdot 8{,}31\cdot 400}{4\cdot10^{5}}\approx 0{,}0249$ м³. Тогда $|Q|=1{,}5\cdot 0{,}0249\cdot 2\cdot10^{5}\approx 7{,}5\cdot10^{3}$ Дж — тот же результат, значит, ошибок нет.
$|Q|=\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_{1}-T_{2}\right)\approx 7{,}5\cdot10^{3}$ Дж — газ отдал примерно $7479$ Дж теплоты.