ID: 00026492
Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль сначала изотермически расширился (T_1=300 К). Затем газ изохорно нагрели, повысив его давление в 3 раза (см. рисунок). Какое количество теплоты получил газ на участке 2–3?
Источник: ФИПИ
Разберёмся с картинкой — она тут главная. По вертикальной оси отложена температура T, по горизонтальной — давление p. Участок 1–2 идёт горизонтально (температура не меняется, давление падает) — это то самое изотермическое расширение. А участок 2–3 — прямая, выходящая из начала координат: температура растёт прямо пропорционально давлению. Нам нужен только этот второй участок.
Шаг 1 — почему 2–3 действительно изохора. Запишем уравнение состояния для одного моля: pV=RT, то есть T=\dfrac{V}{R}\,p. Если объём V постоянен, то T линейно зависит от p, и график — прямая через начало координат. Ровно это и нарисовано. Так что на участке 2–3 объём газа не меняется, а условие прямо называет процесс изохорным.
Шаг 2 — конечная температура. При постоянном объёме давление и температура пропорциональны (закон Шарля). Давление выросло в 3 раза, значит и абсолютная температура выросла в 3 раза. В точке 2 температура ещё равна температуре изотермы, то есть T_2=T_1=300 К, поэтому
T_3 = 3T_2 = 3\cdot300 = 900\ \text{К},\qquad \Delta T = 900-300 = 600\ \text{К}.
Шаг 3 — куда уходит теплота. Первый закон термодинамики: Q=\Delta U + A, где \Delta U — изменение внутренней энергии, A — работа газа. Объём не меняется, поэтому газ ничего не расширяет и работы не совершает: A=0. Значит, вся полученная теплота идёт на нагрев:
Q = \Delta U.
Шаг 4 — внутренняя энергия одноатомного газа. Для одноатомного идеального газа
U = \frac{3}{2}\nu R T,\qquad \Delta U = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T.
Здесь \nu=1 моль — количество вещества, R=8{,}31 Дж/(моль\cdotК) — универсальная газовая постоянная. Подставляем:
Q = \frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot 600 = 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot 600 = 7479\ \text{Дж} \approx 7{,}5\ \text{кДж}.
Проверим себя по знаку: температура растёт, внутренняя энергия увеличивается, работа нулевая — теплота обязана быть положительной, газ её именно получает. Так и вышло.
Почему такая модель применима. Газ назван идеальным и одноатомным — значит, законна формула U=\tfrac{3}{2}\nu RT (у одноатомных молекул есть только три степени свободы поступательного движения, вращательной энергии нет). Постоянство объёма мы не выдумали, а прочитали с графика через уравнение Менделеева–Клапейрона: прямая T(p) через начало координат — фирменный признак изохоры. Дальше работают ровно два закона: закон Шарля (при V=\text{const} отношение p/T постоянно) для поиска конечной температуры и первый закон термодинамики с нулевой работой для связи теплоты с изменением внутренней энергии.