Задание 23 ЕГЭ по физике: Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T…

№2. Задание 23

ID: 00026461

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре $T_{1}=600\text{K}$ и давлении $p_{1}=4\cdot 10^{5}\text{Па},$ расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа $p_{2}=10^{5}\text{Па}.$ Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу $A=2493\text{Дж?}$

Источник: ФИПИ

Решение

Вникнем в условие. Аргон в цилиндре расширяется, и при этом его температура падает по правилу «температура обратно пропорциональна объёму»: увеличили объём вдвое — температура упала вдвое. Газ при расширении совершил работу $2493$ Дж, а спрашивают, сколько теплоты он при этом отдал. Раз газ и работу совершил, и остыл, значит, часть внутренней энергии ушла на работу, а часть — наружу в виде теплоты; надо аккуратно разделить эти доли.

Инструменты. Уравнение Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$ связывает три параметра газа; аргон одноатомный, поэтому его внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ и зависит только от температуры. Баланс энергии даёт первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ , где $Q$ — теплота, полученная газом. Если в итоге $Q$ окажется отрицательной, значит, газ теплоту не получал, а отдавал, и в ответ пойдёт модуль.

Шаг 1 — начальный объём. Из уравнения состояния $V_{1}=\frac{\nu RT_{1}}{p_{1}}=\frac{1\cdot 8{,}31\cdot 600}{4\cdot10^{5}}=\frac{4986}{4\cdot10^{5}}\approx 1{,}25\cdot10^{-2}\ \text{м}^{3}$ (это примерно $12{,}5$ л).

Шаг 2 — конечный объём. Закон процесса $TV=\text{const}$ вместе с уравнением состояния даёт связь давления и объёма: $p=\dfrac{\nu RT}{V}$ , а раз $T$ обратно пропорциональна $V$ , то $p$ обратно пропорциональна $V^{2}$ . Значит, $\frac{V_{2}}{V_{1}}=\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}=\sqrt{\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}}=2,\qquad V_{2}\approx 2{,}49\cdot10^{-2}\ \text{м}^{3}.$

Шаг 3 — конечная температура. Снова уравнение состояния, теперь для второго состояния: $T_{2}=\frac{p_{2}V_{2}}{\nu R}=\frac{10^{5}\cdot 2{,}49\cdot10^{-2}}{8{,}31}=\frac{2493}{8{,}31}\approx 300\ \text{К}.$ Температура упала вдвое — ровно как и обещал закон процесса при удвоении объёма.

Шаг 4 — изменение внутренней энергии: $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_{2}-T_{1})=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300-600)=-3739{,}5\ \text{Дж}.$ Внутренняя энергия уменьшилась примерно на $3740$ Дж.

Шаг 5 — теплота. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A=-3739{,}5+2493\approx -1247\ \text{Дж}.$ Минус означает, что теплоту газ отдавал: $|Q|\approx 1{,}25\cdot10^{3}$ Дж.

Проверим смысл: «копилка» внутренней энергии похудела на $3740$ Дж, из них $2493$ Дж превратились в работу расширения, а оставшиеся $1247$ Дж ушли наружу как теплота. Сумма сходится в точности, и это хороший способ убедиться, что знаки расставлены верно.

Ответ