ID: 00026473
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре $T_{1}=600\text{K}$ и давлении $p_{1}=4\cdot 10^{5}\text{Па},$ расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа $p_{2}=10^{5}\text{Па}.$ Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу $A=2493\text{Дж?}$
Источник: ФИПИ
Сюжет такой: аргон расширяется и одновременно остывает, причём остывает не как попало, а по строгому правилу — давление падает как квадрат объёма в знаменателе. Расширяясь, газ толкает поршень и совершает работу $2493$ Дж. Спрашивают, сколько теплоты он при этом отдал наружу. По сути это задача на бухгалтерию энергии: у газа есть «счёт» — внутренняя энергия, и мы посмотрим, на что ушли деньги с этого счёта.
Инструменты решения. Закон процесса записывается как $pV^{2}=\text{const}$ — эта кривая падает круче обычной изотермы, поэтому газ по ходу расширения не может сохранить температуру и обязан остывать. Состояние газа связывает уравнение Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$. Аргон — одноатомный газ, поэтому его внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ зависит только от температуры. Итог подводит первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$, в котором $Q$ — теплота, полученная газом.
Шаг 1 — во сколько раз вырос объём. Из $p_{1}V_{1}^{2}=p_{2}V_{2}^{2}$: $$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}=\sqrt{\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}}=2.$$
Шаг 2 — конечная температура. Температура пропорциональна произведению $pV$, поэтому $$T_{2}=T_{1}\cdot\frac{p_{2}V_{2}}{p_{1}V_{1}}=600\cdot\frac{1}{4}\cdot 2=300\ \text{К}.$$ Проверка по смыслу: газ действительно охладился, как и сказано в условии.
Шаг 3 — насколько «похудел счёт». Изменение внутренней энергии: $$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_{2}-T_{1})=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300-600)=-3739{,}5\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — куда ушли эти джоули. По первому закону термодинамики $$Q=\Delta U+A=-3739{,}5+2493=-1246{,}5\ \text{Дж}.$$ Отрицательное $Q$ означает, что теплоту газ отдавал: $|Q|\approx 1{,}25\cdot10^{3}$ Дж.
Подведём итог словами: внутренняя энергия уменьшилась на $3740$ Дж, из них $2493$ Дж превратились в механическую работу расширения, а $1247$ Дж утекли наружу теплом. Сумма сходится копейка в копейку — это и есть лучшая проверка того, что знаки в первом законе расставлены правильно.
$|Q|=\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_{1}-T_{2}\right)-A\approx 1{,}25\cdot10^{3}$ Дж — газ отдал примерно $1247$ Дж теплоты.