ID: 00026497
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T_1=600 К и давлении p_1=4\cdot10^{5} Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p_2=10^{5} Па. На какую величину изменилась внутренняя энергия аргона в результате расширения?
Источник: ФИПИ
Аргон — благородный газ, его молекулы одноатомные. Для такого газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому вся задача сводится к одному вопросу: до какой температуры газ остыл? Хитрость в том, что процесс нестандартный — не изотерма, не изобара и не изохора, а специально придуманный: температура обратно пропорциональна объёму.
Шаг 1 — запишем условие процесса формулой. «Температура обратно пропорциональна объёму» означает
T = \frac{C}{V},\qquad \text{то есть}\qquad TV = C = \mathrm{const}.
Здесь C — некоторая постоянная, значение которой нам знать не понадобится: она сократится.
Шаг 2 — свяжем давление с температурой. Уравнение Менделеева–Клапейрона для \nu молей: pV=\nu RT, откуда V = \dfrac{\nu R T}{p}. Подставим этот объём в условие процесса:
T\cdot\frac{\nu R T}{p} = C \quad\Rightarrow\quad \frac{T^2}{p} = \frac{C}{\nu R} = \mathrm{const}.
Вот и главный вывод: в этом процессе давление пропорционально квадрату абсолютной температуры.
Шаг 3 — находим конечную температуру. Из постоянства T^2/p следует
\frac{T_1^{2}}{p_1} = \frac{T_2^{2}}{p_2} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600\cdot\sqrt{\frac{10^{5}}{4\cdot10^{5}}} = 600\cdot\sqrt{0{,}25} = 600\cdot 0{,}5 = 300\ \text{К}.
Газ остыл ровно вдвое — с 600 К до 300 К, как и обещало условие («расширяется и одновременно охлаждается»).
Шаг 4 — считаем изменение внутренней энергии. Для одноатомного идеального газа
U = \frac{3}{2}\nu R T \quad\Rightarrow\quad \Delta U = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1).
Подставляем \nu = 1 моль, R = 8{,}31 Дж/(моль\cdotК):
\Delta U = \frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300 - 600) = 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot(-300) = -3739{,}5\ \text{Дж} \approx -3{,}7\ \text{кДж}.
Знак «минус» здесь не досадная мелочь, а часть ответа: внутренняя энергия именно уменьшилась, потому что газ охладился. Проверим по-другому: раз \Delta U = \tfrac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1), а pV=\nu RT упало вдвое вместе с температурой, энергия тоже должна уменьшиться вдвое — так и вышло, с 7479 Дж до 3740 Дж.
Почему такая модель применима. Аргон — одноатомный идеальный газ, и для него внутренняя энергия — это только кинетическая энергия поступательного движения молекул, поэтому справедлива формула U=\tfrac{3}{2}\nu RT и внутренняя энергия зависит исключительно от температуры (при расширении сами по себе объём и давление на неё не влияют). Связь параметров даёт уравнение Менделеева–Клапейрона, справедливое в любом процессе с постоянным количеством вещества, — именно поэтому его можно применять и к такому необычному процессу. Заданный закон TV=\mathrm{const} — это дополнительное уравнение, которое вместе с уравнением состояния однозначно определяет конечную температуру, и больше ничего для ответа не нужно: ни работы газа, ни полученной теплоты считать не требуется.