Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026497

Аргон — благородный газ, его молекулы одноатомные. Для такого газа внутренняя энергия зависит только от температуры, поэтому вся задача сводится к одному вопросу: до какой температуры газ остыл? Хитрость в том, что процесс нестандартный — не изотерма, не изобара и не изохора, а специально придуманный: температура обратно пропорциональна объёму.

Шаг 1 — запишем условие процесса формулой. «Температура обратно пропорциональна объёму» означает

$$T = \frac{C}{V},\qquad \text{то есть}\qquad TV = C = \mathrm{const}.$$

Здесь $C$ — некоторая постоянная, значение которой нам знать не понадобится: она сократится.

Шаг 2 — свяжем давление с температурой. Уравнение Менделеева–Клапейрона для $\nu$ молей: $pV=\nu RT$, откуда $V = \dfrac{\nu R T}{p}$. Подставим этот объём в условие процесса:

$$T\cdot\frac{\nu R T}{p} = C \quad\Rightarrow\quad \frac{T^2}{p} = \frac{C}{\nu R} = \mathrm{const}.$$

Вот и главный вывод: в этом процессе давление пропорционально квадрату абсолютной температуры.

Шаг 3 — находим конечную температуру. Из постоянства $T^2/p$ следует

$$\frac{T_1^{2}}{p_1} = \frac{T_2^{2}}{p_2} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = 600\cdot\sqrt{\frac{10^{5}}{4\cdot10^{5}}} = 600\cdot\sqrt{0{,}25} = 600\cdot 0{,}5 = 300\ \text{К}.$$

Газ остыл ровно вдвое — с $600$ К до $300$ К, как и обещало условие («расширяется и одновременно охлаждается»).

Шаг 4 — считаем изменение внутренней энергии. Для одноатомного идеального газа

$$U = \frac{3}{2}\nu R T \quad\Rightarrow\quad \Delta U = \frac{3}{2}\nu R (T_2 - T_1).$$

Подставляем $\nu = 1$ моль, $R = 8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К):

$$\Delta U = \frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300 - 600) = 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot(-300) = -3739{,}5\ \text{Дж} \approx -3{,}7\ \text{кДж}.$$

Знак «минус» здесь не досадная мелочь, а часть ответа: внутренняя энергия именно уменьшилась, потому что газ охладился. Проверим по-другому: раз $\Delta U = \tfrac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1)$, а $pV=\nu RT$ упало вдвое вместе с температурой, энергия тоже должна уменьшиться вдвое — так и вышло, с $7479$ Дж до $3740$ Дж.

Почему такая модель применима. Аргон — одноатомный идеальный газ, и для него внутренняя энергия — это только кинетическая энергия поступательного движения молекул, поэтому справедлива формула $U=\tfrac{3}{2}\nu RT$ и внутренняя энергия зависит исключительно от температуры (при расширении сами по себе объём и давление на неё не влияют). Связь параметров даёт уравнение Менделеева–Клапейрона, справедливое в любом процессе с постоянным количеством вещества, — именно поэтому его можно применять и к такому необычному процессу. Заданный закон $TV=\mathrm{const}$ — это дополнительное уравнение, которое вместе с уравнением состояния однозначно определяет конечную температуру, и больше ничего для ответа не нужно: ни работы газа, ни полученной теплоты считать не требуется.