ID: 00026498
В сосуде лежит кусок льда. Температура льда t_1=0\,^\circС. Если сообщить ему количество теплоты Q=50 кДж, то 3/4 льда растает. Какое количество теплоты q надо после этого сообщить содержимому сосуда дополнительно, чтобы весь лёд растаял и образовавшаяся вода нагрелась до температуры t_2=20\,^\circС? Тепловыми потерями на нагрев сосуда пренебречь.
Источник: ФИПИ
Обрати внимание на приятную деталь: массу льда нам не дали. Зато дали хитрую подсказку — сколько теплоты потребовалось, чтобы расплавить три четверти куска. Через это число массу можно вытащить, и дальше всё считается обычным образом. Лёд уже находится при температуре плавления 0\,^\circС, поэтому греть его не надо — вся теплота идёт сразу на плавление.
Шаг 1 — находим массу льда. На плавление массы m_{\text{пл}} нужна теплота Q=\lambda m_{\text{пл}}, где \lambda = 3{,}3\cdot10^{5} Дж/кг — удельная теплота плавления льда (это «цена» превращения одного килограмма льда в воду при 0\,^\circС, без всякого изменения температуры). Растаяли три четверти, значит m_{\text{пл}} = \dfrac{3}{4}m, и
Q = \lambda\cdot\frac{3}{4}m \quad\Rightarrow\quad m = \frac{4Q}{3\lambda} = \frac{4\cdot 50\,000}{3\cdot 3{,}3\cdot10^{5}} = \frac{200\,000}{990\,000} \approx 0{,}202\ \text{кг}.
Примерно двести граммов льда — маленький кусочек.
Шаг 2 — доплавить остаток. Осталась четверть куска, а четверть — это треть от уже растаявших трёх четвертей. Поэтому проще всего рассуждать так: три четверти обошлись в 50 кДж, значит одна четверть стоит втрое дешевле:
q_1 = \frac{Q}{3} = \frac{50}{3} \approx 16{,}7\ \text{кДж}.
Шаг 3 — нагреть всю получившуюся воду. Когда лёд растаял целиком, в сосуде оказалась вода массой m при 0\,^\circС. Её надо нагреть до 20\,^\circС:
q_2 = c\,m\,\Delta t = 4200\cdot 0{,}202\cdot 20 \approx 17{,}0\ \text{кДж},
где c = 4200 Дж/(кг\cdotК) — удельная теплоёмкость воды, \Delta t = 20 - 0 = 20\,^\circС.
Шаг 4 — складываем. Дополнительная теплота — это сумма двух порций:
q = q_1 + q_2 \approx 16{,}7 + 17{,}0 = 33{,}7\ \text{кДж}.
Аккуратный расчёт без промежуточных округлений даёт q \approx 33{,}6 кДж. Любопытно, что доплавить последнюю четвертинку льда и нагреть всю воду на 20 градусов стоит почти одинаково — настолько «дорогое» дело плавление.
Почему такая модель применима. Работает уравнение теплового баланса, то есть закон сохранения энергии в тепловых процессах: потерь нет (сосуд не греем по условию), поэтому вся подведённая теплота честно распределяется между плавлением и нагреванием. Плавление идёт при постоянной температуре 0\,^\circС, и теплота на него считается по формуле Q=\lambda m — температура при фазовом переходе не меняется, энергия уходит на разрушение кристаллической решётки. Нагрев уже растаявшей воды считается по формуле Q=cm\Delta t. И важный момент: греть можно только после того, как весь лёд растаял, — пока в сосуде есть лёд, смесь льда и воды остаётся при нуле градусов.