ID: 00026460
В теплоизолированный сосуд, в котором находится 1 кг льда при температуре –20 °С, налили 0,2 кг воды при температуре 10 °С. Определите массу льда в сосуде после установления теплового равновесия. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.
Источник: ФИПИ
Оценим силы сторон. В сосуде килограмм льда, охлаждённого до $-20\ ^\circ$С, — это очень «глубокий холод». К нему добавляют всего $200$ г воды при $+10\ ^\circ$С. Интуитивно ясно: маленькая порция тёплой воды такую глыбу не растопит, скорее сама замёрзнет. Задача — посчитать, сколько именно воды успеет замёрзнуть, и сложить это со стартовым килограммом льда.
Основа расчёта — уравнение теплового баланса. Сосуд теплоизолирован, его собственной теплоёмкостью и потерями пренебрегаем, поэтому энергия внутри системы только перераспределяется: сколько теплоты одно тело отдало, столько же другое получило. Нагрев и охлаждение считаем как $Q=cm\Delta T$, а фазовый переход — как $Q=\lambda m$, где $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}$ Дж/кг — удельная теплота плавления льда; при обратном процессе, кристаллизации, ровно столько же теплоты выделяется. Теплоёмкости: воды $c_{\text{в}}=4200$ Дж/(кг$\cdot$К), льда $c_{\text{л}}=2100$ Дж/(кг$\cdot$К).
Шаг 1 — теплота от остывающей воды. Пока вода охлаждается от $10\ ^\circ$С до $0\ ^\circ$С, она отдаёт $$Q_{1}=c_{\text{в}}m_{2}\Delta t=4200\cdot 0{,}2\cdot 10=8400\ \text{Дж}.$$
Шаг 2 — сколько нужно льду. Чтобы дойти от $-20\ ^\circ$С до $0\ ^\circ$С, льду требуется $$Q_{2}=c_{\text{л}}m_{1}\Delta t=2100\cdot 1\cdot 20=42\,000\ \text{Дж}.$$
Шаг 3 — кто кого. Восьми с половиной тысяч джоулей на сорок две тысячи явно не хватает. Значит, лёд не дотянет до нуля за счёт одного лишь остывания воды — и вода начнёт кристаллизоваться, отдавая скрытую теплоту. Плавление льда при этом невозможно в принципе: чтобы лёд начал таять, его сначала надо довести до $0\ ^\circ$С, а на это энергии и не хватило. Итоговая температура смеси — $0\ ^\circ$С.
Шаг 4 — масса замёрзшей воды. Недостающая теплота $$Q_{2}-Q_{1}=42\,000-8400=33\,600\ \text{Дж}$$ должна прийти от кристаллизации массы $m$: $$m=\frac{33\,600}{\lambda}=\frac{33\,600}{3{,}3\cdot10^{5}}\approx 0{,}102\ \text{кг}.$$ Это меньше, чем было воды ($0{,}2$ кг), значит, замерзает лишь часть, и наша схема верна: в сосуде остаётся смесь льда и воды при нуле градусов.
Шаг 5 — итоговая масса льда: $$m_{\text{л}}=1+0{,}102\approx 1{,}1\ \text{кг}.$$
Полезно оценить и то, чего не спрашивали: воды при этом остаётся $0{,}2-0{,}102\approx 0{,}098$ кг, то есть около половины налитой. Если бы воды взяли ещё меньше — скажем, $50$ г, — она замёрзла бы целиком, а смесь остыла бы ниже нуля; поэтому проверка «замёрзло меньше, чем налили» здесь не формальность, а обязательный шаг.
$m_{\text{л}}=m_{1}+\dfrac{c_{\text{л}}m_{1}|t_{1}|-c_{\text{в}}m_{2}t_{2}}{\lambda}\approx 1{,}1$ кг льда при температуре $0\ ^\circ$С.