ID: 00026438
В калориметре находятся в тепловом равновесии вода и лёд. После опускания в калориметр болта, имеющего массу 165 г и температуру –40 °С, 20% воды превратилось в лёд. Удельная теплоёмкость материала болта равна 500 Дж/(кг \cdot К). Какая масса воды первоначально находилась в калориметре? Теплоёмкостью калориметра пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. В калориметре лежат вместе вода и лёд, и они в тепловом равновесии — а это сразу говорит нам о температуре: смесь воды и льда может существовать только при 0\,^\circС. Теперь туда опускают холодный болт (-40\,^\circС). Болт начинает нагреваться и забирать теплоту у содержимого. Отдавать эту теплоту может только вода, причём не остывая (ниже нуля она в присутствии льда не опустится), а замерзая: пятая часть воды превратилась в лёд. По этому и найдём, сколько воды было изначально.
Обоснуем модель. Пока в калориметре есть и вода, и лёд, температура остаётся ровно 0\,^\circС — вся отдаваемая энергия идёт не на изменение температуры, а на кристаллизацию. Поэтому болт нагревается именно до 0\,^\circС, то есть на \Delta t=40 градусов. Теплоёмкостью калориметра условие разрешает пренебречь, значит, работает уравнение теплового баланса: Q_{\text{отд}}=Q_{\text{погл}}. Нагрев болта считаем по формуле Q=c_{\text{б}}m_{\text{б}}\Delta t. Кристаллизация — процесс, обратный плавлению: при замерзании вода ОТДАЁТ теплоту Q=\lambda m, где \lambda=3{,}3\cdot10^{5} Дж/кг — та же удельная теплота плавления льда.
Шаг 1 — сколько теплоты забрал болт. Массу переведём в килограммы (m_{\text{б}}=165 г =0{,}165 кг): Q_{\text{погл}}=c_{\text{б}}m_{\text{б}}\,\Delta t=500\cdot 0{,}165\cdot 40=3300\ \text{Дж}.
Шаг 2 — сколько теплоты отдала замерзающая вода. Замёрзло 20\ \% первоначальной массы воды, то есть 0{,}2\,m_{\text{в}}: Q_{\text{отд}}=\lambda\cdot 0{,}2\,m_{\text{в}}=3{,}3\cdot10^{5}\cdot 0{,}2\,m_{\text{в}}=66\,000\,m_{\text{в}}.
Шаг 3 — приравниваем и выражаем массу воды: 66\,000\,m_{\text{в}}=3300\quad\Rightarrow\quad m_{\text{в}}=\frac{3300}{66\,000}=0{,}05\ \text{кг}.
Проверим себя. Замёрзло 0{,}2\cdot 0{,}05=0{,}01 кг, то есть 10 граммов воды; при этом выделилось 3{,}3\cdot10^{5}\cdot 0{,}01=3300 Дж — ровно столько, сколько понадобилось болту на нагрев от -40\,^\circС до нуля. Баланс сходится, ответ: изначально в калориметре было 50 граммов воды.
И обрати внимание на две ловушки этой задачи. Первая: температура смеси всё время равна нулю, поэтому вода не остывает — писать для неё c m \Delta t нельзя, работает только теплота кристаллизации. Вторая: масса количества льда, о котором говорит условие, — это 20\ \% от искомой массы, а не сама искомая масса; забыв про множитель 0{,}2, получишь ответ в пять раз меньше.
m_{\text{в}}=\dfrac{c_{\text{б}}m_{\text{б}}\,\Delta t}{0{,}2\,\lambda}=0{,}05 кг =50 г.