ID: 00026455
В теплоизолированный сосуд, в котором находится 1 кг льда при температуре –20 °С, налили 0,5 кг воды при температуре 5 °С. Определите массу воды в сосуде после установления теплового равновесия. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.
Источник: ФИПИ
Прикинем, чем закончится встреча. В сосуде килограмм очень холодного льда (-20\ ^\circС), к нему подливают полкило чуть тёплой воды (+5\ ^\circС). Вода будет остывать и отдавать тепло льду, лёд — нагреваться. Вопрос в том, кто «победит»: успеет ли лёд дорасти до нуля и начать таять, или воды не хватит и часть её сама превратится в лёд. Чтобы это выяснить, сравним два числа: сколько теплоты вода способна отдать, остывая до 0\ ^\circС, и сколько теплоты нужно льду, чтобы просто добраться до 0\ ^\circС.
Работает здесь уравнение теплового баланса: сосуд теплоизолирован и его теплоёмкостью пренебрегаем, поэтому вся теплота, отданная одними телами, достаётся другим, а полная энергия системы не меняется. Нагрев и охлаждение считаем по формуле Q=cm\Delta T, фазовые переходы — по Q=\lambda m, где \lambda=3{,}3\cdot10^{5} Дж/кг — удельная теплота плавления льда (столько же выделяется при замерзании такой же массы воды). Понадобятся ещё c_{\text{в}}=4200 Дж/(кг\cdotК) и c_{\text{л}}=2100 Дж/(кг\cdotК).
Шаг 1 — что может отдать вода. Остывая от 5\ ^\circС до 0\ ^\circС: Q_{\text{отд}}=c_{\text{в}}m_{2}\Delta t=4200\cdot 0{,}5\cdot 5=10\,500\ \text{Дж}.
Шаг 2 — что просит лёд. Нагрев от -20\ ^\circС до 0\ ^\circС (ещё даже не плавление, только нагрев): Q_{\text{нужно}}=c_{\text{л}}m_{1}\Delta t=2100\cdot 1\cdot 20=42\,000\ \text{Дж}.
Шаг 3 — вывод. Вода даёт 10\,500 Дж, а льду нужно 42\,000 Дж — вчетверо больше. Значит, остывания воды не хватает, и она начинает замерзать: при кристаллизации выделяется дополнительная теплота \lambda m. Именно эта теплота и догревает лёд до нуля. Причём растаять ничего не может: до плавления дело просто не доходит. Итоговая температура — 0\ ^\circС, в сосуде окажется смесь льда и воды.
Шаг 4 — сколько воды замёрзло. Недостающая теплота 42\,000-10\,500=31\,500\ \text{Дж} должна выделиться при замерзании массы m: \lambda m=31\,500\quad\Rightarrow\quad m=\frac{31\,500}{3{,}3\cdot10^{5}}\approx 0{,}095\ \text{кг}.
Шаг 5 — сколько воды осталось: m_{\text{в}}=0{,}5-0{,}095\approx 0{,}40\ \text{кг}.
Проверим себя на непротиворечивость: замёрзло 0{,}095 кг — меньше, чем было воды (0{,}5 кг), значит, вода замёрзла не вся и температура остановилась ровно на 0\ ^\circС. Если бы получилось больше 0{,}5 кг, ответ пришлось бы искать иначе — вся вода превратилась бы в лёд, а смесь остыла ниже нуля.
m_{\text{в}}=m_{2}-\dfrac{c_{\text{л}}m_{1}|t_{1}|-c_{\text{в}}m_{2}t_{2}}{\lambda}\approx 0{,}4 кг воды при температуре 0\ ^\circС.