ID: 00026493
Фотокатод облучают светом с длиной волны λ = 200 нм. «Красная граница» фотоэффекта для вещества фотокатода λ _{0} = 290 нм. Какое напряжение U нужно создать между анодом и катодом, чтобы фототок прекратился?
Источник: ФИПИ
Фототок прекращается тогда, когда даже самому шустрому электрону не хватает энергии долететь до анода. Значит, надо найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и подобрать такое запирающее напряжение, которое эту энергию полностью «съедает» по дороге.
Шаг 1 — что такое «красная граница». Это самая большая длина волны $\lambda_0$, при которой фотоэффект ещё идёт. На этой границе энергии фотона хватает ровно на работу выхода, и электрон вылетает с нулевой скоростью. Отсюда удобная связь:
$$A = \frac{hc}{\lambda_0}.$$
То есть работу выхода нам не дали напрямую, но спрятали в красной границе.
Шаг 2 — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Энергия фотона делится на работу выхода и кинетическую энергию электрона:
$$\frac{hc}{\lambda} = A + E_k \quad\Rightarrow\quad E_k = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}\right).$$
Шаг 3 — что делает запирающее напряжение. Если на анод подать минус, электрическое поле тормозит вылетевшие электроны. Пролетая разность потенциалов $U$, электрон теряет энергию $eU$. Ток исчезнет, когда даже самый быстрый электрон не доберётся до анода:
$$eU = E_k \quad\Rightarrow\quad U = \frac{hc}{e}\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}\right).$$
Шаг 4 — числа. Считаем энергии в джоулях, $hc = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8} = 1{,}989\cdot10^{-25}$ Дж$\cdot$м. Длины волн: $\lambda = 200$ нм $=2\cdot10^{-7}$ м, $\lambda_0 = 290$ нм $=2{,}9\cdot10^{-7}$ м.
$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{2\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{-19}\ \text{Дж},\qquad \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{2{,}9\cdot10^{-7}} = 6{,}86\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Разность: $E_k = 9{,}95\cdot10^{-19} - 6{,}86\cdot10^{-19} = 3{,}09\cdot10^{-19}$ Дж. Тогда
$$U = \frac{3{,}09\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} \approx 1{,}9\ \text{В}.$$
Тот же расчёт в электронвольтах занимает одну строчку: $\dfrac{1240}{200} - \dfrac{1240}{290} = 6{,}2 - 4{,}28 = 1{,}92$ эВ, а значит $U\approx1{,}9$ В. Числовое значение запирающего напряжения в вольтах всегда совпадает с максимальной кинетической энергией в электронвольтах — это удобный способ себя проверить.
Почему такая модель применима. Свет поглощается порциями: один фотон целиком отдаёт энергию одному электрону — это гипотеза Планка и уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, то есть закон сохранения энергии для отдельного акта поглощения. Красная граница даёт работу выхода без дополнительных данных, потому что на ней кинетическая энергия равна нулю по определению. Условие прекращения тока — это закон сохранения энергии в электростатическом поле: работа поля над зарядом равна $eU$ и не зависит от формы траектории, поскольку электростатическое поле потенциально.